§ 3 Formes différentielles réelles en géométrie ultramétrique [01NH]

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§ 3 Formes différentielles réelles en géométrie ultramétrique

3.1 Formes de type $(p,q)$ sur un espace analytique

3.1.1

Soit $X$ un espace $k$ -analytique. On appelle carte tropicale sur $X$ la donnée d’un moment $f\colon X\rightarrow T$ sur $X$ et d’un polytope compact $P$ de $T_{\text{trop}}$ qui contient $f_{\text{trop}}(X)$ . Les cartes tropicales sur $X$ forment une catégorie (essentiellement) petite, un morphisme d’une carte tropicale $(f\colon X\rightarrow T,P)$ dans une autre $(f^{\prime}\colon X\rightarrow T^{\prime},P^{\prime})$ étant un morphisme de tores $q\colon T\rightarrow T^{\prime}$ tel que $f^{\prime}=q\circ f$ et $q_{\text{trop}}(P)\subset P^{\prime}$ .

3.1.2

Fixons une classe admissible $\mathscr{F}$ de fonctions numériques. Pour tout ouvert $U$ de $X$ et tout couple $(p,q)$ d’entiers naturels, notons $\mathscr{F}_{\text{pf}}^{p,q}(U)$ la limite inductive des espaces $\mathscr{F}^{p,q}_{P}(P)$ , lorsque $(f\colon U\to T,P)$ parcourt l’ensemble des cartes tropicales sur $U$ .

Lorsque $U$ parcourt l’ensemble des ouverts de $X$ , les espaces $\mathscr{F}_{\text{pf}}^{p,q}(U)$ définissent un préfaisceau sur $X$ ; le faisceau associé $\mathscr{F}_{X}^{p,q}$ , est appelé le faisceau des formes de type $(p,q)$ sur $X$ à coefficients dans $\mathscr{F}$ ; lorsque $\mathscr{F}=\mathscr{A}$ , on parle de forme lisse.

Soit $U$ un ouvert de $X$ et soit $(f\colon U\to T,P)$ une carte tropicale sur $U$ . Toute forme $\alpha$ appartenant à $\mathscr{F}^{p,q}_{P}(P)$ définit un élément de $\mathscr{F}^{p,q}_{\text{pf}}(U)$ , puis une forme appartenant à $\mathscr{F}^{p,q}_{X}(U)$ ; celle-ci sera notée $f^{*}\alpha$ .

Supposons que $\dim(X)<\max(p,q)$ . Le faisceau $\mathscr{F}_{X}^{p,q}$ est alors nul. En effet, soit $U$ un ouvert de $X$ , soit $(f\colon U\to T,P)$ une carte tropicale sur $U$ , et soit $\alpha$ une forme de type $(p,q)$ sur $P$ à coefficients dans $\mathscr{F}$ . Nous allons montrer que $f^{*}\alpha$ est nulle au voisinage de tout point de $U$ , ce qui suffira à conclure.

Soit $x\in U$ et soit $V$ un voisinage analytique compact de $x$ dans $U$ . La carte tropicale $(f|_{\mathring{V}}\colon\mathring{V}\to T,P)$ se factorise par $(f|_{\mathring{V}}\colon\mathring{V}\to T,f_{\text{trop}}(V))$ .

Par conséquent, $f^{*}\alpha|_{\mathring{V}}=(f|_{\mathring{V}})^{*}(\alpha|_{f_{\text{trop}}(V)})$ .

La dimension de $f_{\text{trop}}(V)$ est majorée par celle de $X$ , et est donc strictement inférieure à $\max(p,q)$ . Par conséquent, $\mathscr{F}^{p,q}_{f_{\text{trop}}(V)}=0$ ; dès lors, $\alpha|_{f_{\text{trop}}(V)}=0$ et $f^{*}\alpha|_{\mathring{V}}=0$ , ce qui achève la démonstration.

3.1.3

Le faisceau $\mathscr{A}_{X}:=\mathscr{A}^{0,0}_{X}$ est un faisceau en $\mathbf{R}$ -algèbres de fonctions numériques sur $X$ , que l’on appelle les fonctions lisses. Ses sections sur un ouvert $U$ sont les fonctions réelles sur $X$ qui s’écrivent localement sur $U$ sous la forme $\varphi(\log\mathopen{|}{f_{1}}\mathclose{|},\ldots,\log\mathopen{|}{f_{n}}\mathclose{|})$ où les $f_{i}$ sont des fonctions holomorphes inversibles et où $\varphi$ est une fonction $\mathscr{C}^{\infty}$ définie sur un ouvert de $\mathbf{R}^{n}$ contenant l’image de l’application $(\log\mathopen{|}{f_{1}}\mathclose{|},\dots,\log\mathopen{|}{f_{n}}\mathclose{|})$ .

3.1.4

Les faisceaux $\mathscr{A}_{X}^{p,q}$ sont des $\mathscr{A}_{X}$ -modules.

Ils sont naturellement munis de différentielles $\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}\colon\mathscr{A}_{X}^{p,q}\rightarrow\mathscr{A}_{X}^{p+1,q}$ et $\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}\colon\mathscr{A}_{X}^{p,q}\rightarrow\mathscr{A}_{X}^{p,q+1}$ , caractérisées par les relations

\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}f^{*}\alpha=f^{*}\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}\alpha,\quad\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}f^{*}\alpha=f^{*}\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}\alpha,

pour toute carte tropicale $(f\colon U\rightarrow T,P)$ et toute forme $\alpha$ de type $(p,q)$ sur $P$ .

Leur somme directe $\mathscr{A}_{X}^{*,*}=\bigoplus_{p,q}\mathscr{A}_{X}^{p,q}$ est un faisceau en algèbres bigraduées commutatives ; si $\omega$ est de type $(p,q)$ et $\omega^{\prime}$ de type $(p^{\prime},q^{\prime})$ , alors

\omega^{\prime}\wedge\omega=(-1)^{(p+p^{\prime})(q+q^{\prime})}\omega\wedge\omega^{\prime}.

Elle est aussi munie d’une involution $\mathrm{J}$ caractérisée par la condition $\mathrm{J}f^{*}\alpha=f^{*}\mathrm{J}\alpha$ pour toute carte comme ci-dessus. Les différentielles vérifient la règle de Leibniz : si $\omega$ et $\omega^{\prime}$ sont respectivement de type $(p,q)$ et $(p^{\prime},q^{\prime})$ , on a

\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}(\omega\wedge\omega^{\prime})=\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}\omega\wedge\omega^{\prime}+(-1)^{p+q}\omega\wedge\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}\omega^{\prime},

et de même pour $\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}(\omega\wedge\omega^{\prime})$ .

3.1.5

La somme directe $\mathscr{F}_{X}^{*,*}=\bigoplus_{p,q}\mathscr{F}_{X}^{p,q}$ est faisceau en $\mathscr{A}_{X}$ -modules bigradués, auquel l’involution $J$ se prolonge.

Si $\mathscr{F}$ est stable par multiplication, le faisceau $\mathscr{F}_{X}$ est un faisceau de $\mathbf{R}$ -algèbres, et $\mathscr{F}^{*,*}$ est une $\mathscr{F}_{X}$ -algèbre bigraduée, et $J$ est un automorphisme de $\mathscr{F}_{X}$ -algèbre.

3.1.6

Lorsque $\mathscr{F}$ est la classe des fonctions mesurables (resp. localement intégrables, resp. $\mathscr{C}^{m}$ pour un certain $m\geq 1$ , resp. localement $L^{p}$ pour un certain $p$ ), on dira que $\mathscr{F}_{X}^{*,*}$ est le faisceau des formes à coefficients mesurables (resp. localement intégrables, resp. $\mathscr{C}^{m}$ , resp. localement $L^{p}$ ) sur $X$ .

Mais si $\mathscr{F}$ est la classe des fonctions continues, on dira que $\mathscr{F}_{X}^{*,*}$ est le faisceau des formes à coefficients tropicalement continus sur $X$ .

On doit introduire l’adverbe tropicalement pour éviter la confusion avec la notion de fonction continue sur un espace de Berkovich : bien entendu, toute fonction tropicalement continue sur un espace de Berkovich est continue, mais la réciproque est fausse. En effet, comme la valeur absolue d’une fonction inversible est constante au voisinage de tout point rigide, il en est de même de toute fonction tropicalement continue. En revanche, l’exemple de l’application $x\mapsto\mathopen{|}{T(x)}\mathclose{|}$ sur $\mathbf{A}^{1}$ montre qu’il existe des fonctions continues qui ne sont pas localement constantes au voisinage d’un point rigide.

3.1.7

Cette construction est fonctorielle. Plus précisément, si $f\colon Y\to X$ est un morphisme d’espaces $k$ -analytiques, on dispose d’une application naturelle $f^{*}\colon f^{-1}(\mathscr{A}^{*,*}_{X})\to\mathscr{A}^{*,*}_{Y}$ qui est un morphisme d’anneaux gradués, commute aux dérivations $\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}$ et $\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}$ ainsi qu’à l’involution $\mathrm{J}$ .

On dispose également d’une application naturelle $f^{*}\colon f^{-1}(\mathscr{F}^{*,*}_{X})\to\mathscr{F}^{*,*}_{Y}$ qui est un morphisme de $\mathscr{A}_{Y}$ -modules gradués, et de $\mathscr{F}_{Y}$ -algèbres graduées si $\mathscr{F}$ est stable par multiplication, et qui commute à l’involution $\mathrm{J}$ .

Si $Y$ est un domaine analytique ou un fermé de Zariski de $X$ et si $\alpha\in\mathscr{A}^{p,q}_{X}(X)$ on se permettra de noter $\alpha|_{Y}$ l’image de $\alpha$ dans $\mathscr{A}^{p,q}_{Y}(Y)$ .

\lemmname 3.1.8.

Pour qu’une forme $\alpha\in\mathscr{F}^{p,q}_{X}(X)$ soit nulle, il faut et il suffit que sa restriction à tout domaine analytique compact de $X$ le soit. Si $X$ est bon, il suffit qu’elle le soit sur tout domaine affinoïde de $X$ .

Démonstration.

Cela résulte du fait que tout point possède une base de voisinages qui sont des intérieurs de domaines analytiques compacts, resp. des domaines affinoïdes de $X$ si celui-ci est bon. ∎

3.1.9

Soit $\omega$ une forme de type $(p,q)$ et à coefficients dans $\mathscr{F}$ sur $X$ et soit $V$ un domaine analytique de $X$ .

Une présentation de $\omega|_{V}$ est la donnée d’une carte tropicale $(f\colon V\rightarrow T,P)$ et d’une forme $\alpha\in\mathscr{F}^{p,q}_{P}(P)$ telle que $\omega|_{V}=f^{*}\alpha$ . On dira que $\omega|_{V}$ est tropicale si elle admet une présentation ; lorsque c’est le cas, nous dirons aussi que $V$ tropicalise $\omega$ .

Supposons que $V$ soit compact et tropicalise $\omega$ , et soit $(f\colon V\to T,P,\alpha)$ une présentation de $\omega|_{V}$ . Comme $f_{\text{trop}}(V)$ est un polytope, $(f\colon V\to T,f_{\text{trop}}(V),\alpha|_{f_{\text{trop}}(V)})$ est encore une présentation de $\omega|_{V}$ ; une telle présentation sera simplement notée $(f\colon V\to T,\alpha)$ : l’omission du polytope signifie qu’il est égal à $f_{\text{trop}}(V)$ .

Supposons que $X$ soit bon. Par définition du faisceau des $(p,q)$ -formes, tout point de $X$ possède un voisinage affinoïde qui tropicalise $\omega$ .

\lemmname 3.1.10.

Soit $f\colon X\rightarrow T$ et $g\colon X\rightarrow T$ deux moments sur $X$ tels que $f_{\text{trop}}=g_{\text{trop}}$ . Alors, pour tout polytope compact $P$ qui contient $f_{\text{trop}}(X)$ et toute forme $\alpha$ sur $P$ , on a $f^{*}\alpha=g^{*}\alpha$ .

Démonstration.

On peut supposer que $X$ est un espace analytique compact et que $P=f_{\text{trop}}(X)$ . Notons $\Delta_{P}$ l’image de $P$ dans $T_{\text{trop}}\times T_{\text{trop}}$ par l’immersion diagonale. La première projection $p_{1}\colon T\times T\rightarrow T$ induit un morphisme de la carte tropicale $((f,g),\Delta_{P})$ dans la carte tropicale $(f,P)$ ; de même la seconde projection induit un morphisme de la carte tropicale $((f,g),\Delta_{P})$ dans la carte tropicale $(g,P)$ . Sur $\Delta_{P}$ , les applications $p_{1,{\text{trop}}}$ et $p_{2,{\text{trop}}}$ coïncident, si bien que les formes $p_{1,{\text{trop}}}^{*}\alpha$ et $p_{2,{\text{trop}}}^{*}\alpha$ coïncident. Le lemme en résulte. ∎

3.2 Support

3.2.1

Comme pour toute section d’un faisceau de groupes abéliens, le support d’une forme différentielle $\omega$ de type $(p,q)$ est l’ensemble des points où son germe n’est pas nul ; c’est aussi le complémentaire du plus grand ouvert à la restriction duquel cette forme est nul. Ce paragraphe est consacré à quelques propriétés de ce support, en lien avec la géométrie tropicale.

\lemmname 3.2.2.

Soit $X$ un espace analytique compact, et soit $\omega$ une forme de type $(p,q)$ sur $X$ , à coefficients dans $\mathscr{F}$ . Soit $(f\colon X\rightarrow T,\alpha)$ une présentation de $\omega$ . Si $\omega=0$ alors $\alpha=0$ .

Démonstration.

Par définition, tout point de $X$ possède un voisinage ouvert $U$ tel que la restriction à $U$ de $\omega$ fournisse l’objet nul de la limite inductive $\mathscr{F}_{\text{pf}}^{p,q}(U)$ . Il existe en conséquence, par compacité de $X$ , une famille finie $(f_{i}\colon U_{i}\rightarrow T_{i},q_{i}\colon T_{i}\rightarrow T,P_{i})$ , où les $U_{i}$ sont des ouverts qui recouvrent $X$ , où $(f_{i}\colon U_{i}\rightarrow T_{i},P_{i})$ est pour tout $i$ une carte tropicale sur $U_{i}$ , et où $q_{i}$ est pour tout $i$ un morphisme affine de tores de $T_{i}$ vers $T$ tel que $q_{i,{\text{trop}}}(P_{i})\subset f_{\text{trop}}(X)$ et $(q_{i,{\text{trop}}}|_{P_{i}})^{*}\alpha=0$ .

Comme les $U_{i}$ recouvrent $X$ , le polytope $f_{\text{trop}}(X)$ est la réunion des images par les $q_{i,{\text{trop}}}$ des sous-espaces linéaires par morceaux $P_{i}$ . Il existe donc une décomposition cellulaire $\mathscr{C}$ de $f_{\text{trop}}(X)$ et, pour tout $i$ , une décomposition cellulaire $\mathscr{D}_{i}$ de $P_{i}$ , telles que toute cellule de $\mathscr{C}$ soit l’image pour un certain $i$ , d’une cellule de $\mathscr{D}_{i}$ par $q_{i,{\text{trop}}}$ .

Soit $Q\in\mathscr{C}$ . Choisissons $i$ et une cellule $Q^{\prime}\in\mathscr{D}_{i}$ telle que $q_{i,{\text{trop}}}(Q^{\prime})=Q$ . L’application $q_{i,{\text{trop}}}$ induit alors une surjection affine de $\langle Q^{\prime}\rangle$ sur $\langle Q\rangle$ , et la restriction de $q_{i,{\text{trop}}}^{*}\alpha$ au vosinage de $Q^{\prime}$ dans $\langle Q^{\prime}\rangle$ est nulle car $(q_{i,{\text{trop}}}|_{P_{i}})^{*}\alpha=0$ . Par suite, la restriction au voisinage de $Q$ dans $\langle Q\rangle$ de la forme $\alpha$ est nulle.

Il en résulte que $\alpha=0$ , ce qu’il fallait démontrer. ∎

\coroname 3.2.3.

Conservons les notations du lemme. Notons $K$ le support de $\omega$ dans $X$ et $H$ celui de $\alpha$ dans $f_{\text{trop}}(X)$ . On a $H=f_{\text{trop}}(K)$ .

Démonstration.

Soit $x$ un point de $X$ . Soit $Q$ un voisinage de $f_{\text{trop}}(x)$ dans $f_{\text{trop}}(X)$ qui est un polytope compact. Le domaine analytique $W=f_{\text{trop}}^{-1}(Q)$ de $X$ est un voisinage de $x$ et $\omega|_{W}=(f|_{W})^{*}(\alpha|_{Q})$ .

Supposons que $x$ appartienne à $K$ . Le compact $K$ rencontre alors l’intérieur de $W$ , ce qui entraîne que $\omega|_{W}\neq 0$ , et donc que $\alpha|_{Q}\neq 0$ . Il s’ensuit que $H$ rencontre $Q$ . Comme $Q$ peut être choisi arbitrairement petit, $f_{\text{trop}}(x)$ appartient à $H$ , d’où l’inclusion $f_{\text{trop}}(K)\subset H$ .

Inversement, supposons que $f_{\text{trop}}(x)\in H$ . Par définition de $H$ , la restriction à $Q$ de la forme $\alpha$ est non nulle. Il s’ensuit d’après le lemme, que la restriction de $\omega$ à $f_{\text{trop}}^{-1}(Q)$ est non nulle. Par conséquent, $f_{\text{trop}}^{-1}(Q)$ rencontre $K$ , et $Q=f_{\text{trop}}(f_{\text{trop}}^{-1}(Q))$ rencontre $f_{\text{trop}}(K)$ . Comme $Q$ est un voisinage arbitrairement petit de $f_{\text{trop}}(x)$ , celui-ci est adhérent à $f_{\text{trop}}(K)$ . Puisque $f_{\text{trop}}(K)$ est compact, $f_{\text{trop}}(x)$ appartient à $f_{\text{trop}}(K)$ . ∎

\coroname 3.2.4.

Soit $X$ un espace $k$ -analytique, soit $\omega$ une forme à coefficients mesurables sur $X$ , et soit $(X_{i})$ un G-recouvrement de $X$ par des domaines analytiques. Si $\omega|_{X_{i}}=0$ pour tout $i$ , alors $\omega=0$ .

Démonstration.

On peut raisonner localement, ce qui ramène le problème au cas où $X$ est compact, où $\omega$ est tropicale, et où $(X_{i})$ est un recouvrement fini de $X$ par des domaines analytiques compacts.

Soit $(f\colon X\to T,\alpha)$ une présentation de $\omega$ . En vertu du lemme 3.2.2, la restriction de $\alpha$ à $f_{\text{trop}}(X_{i})$ est nulle pour tout $i$ .

Comme $f_{\text{trop}}(X)=\bigcup f_{\text{trop}}(X_{i})$ , il vient $\alpha=0$ , et donc $\omega=0$ .

∎

\lemmname 3.2.5.

Soit $X$ un espace $k$ -analytique de dimension $n$ , soit $\omega$ une $(p,q)$ -forme sur $X$ à coefficients mesurables, et soit $x$ un point de $X$ tel que $d_{k}(x)<\max(p,q)$ . Il existe un voisinage analytique compact $V$ de $x$ dans $X$ tel $\omega|_{V}=0$ .

Démonstration.

Soit $V$ un voisinage analytique compact tel que $\dim(f_{\text{trop}}(V))$ soit égal à la dimension tropicale $d$ de $f$ en $x$ , et tel que $V$ tropicalise $\omega$ .

Choisissons une présentation $(f\colon V\rightarrow T,\alpha)$ de $\omega$ . On a $d\leq d_{k}(x)<\max(p,q)$ . Par conséquent, $\mathscr{F}_{f_{\text{trop}}(V)}^{p,q}=0$ et $\alpha=0$ . ∎

\lemmname 3.2.6.

Soit $f\colon Y\to X$ un morphisme entre espaces $k$ -analytiques. On suppose que $Y$ est purement de dimension $n$ et $X$ purement de dimension $d$ . Soit $y\in Y$ tel que $d_{k}(f(y))=d$ . La dimension de $f$ en $y$ est alors égale à $n-d$ .

Démonstration.

Posons $x=f(y)$ . Quitte à remplacer $X$ par un domaine affinoïde $X^{\prime}$ de $X$ contenant $X$ , et $Y$ par un domaine affinoïde de $f^{-1}(X^{\prime})$ contenant $y$ , on peut supposer que $X$ et $Y$ sont affinoïdes.

Soit $r$ la dimension de $f$ en $y$ . D’après le théorème 4.6 de [28], la flèche $Y\to X$ se factorise par un morphisme $Y\to\mathbf{A}^{r}_{X}$ de dimension relative nulle en $y$ .

En vertu de la variante analytique du Main Theorem de Zariski (th. 3.2 de [28]), il existe un voisinage affinoïde $V$ de $y$ dans $Y$ , un morphisme étale $T\to\mathbf{A}^{r}_{X}$ , et un domaine affinoïde $W$ de $T$ tels que $Y\to\mathbf{A}^{r}_{X}$ se factorise par un morphisme fini $V\to W$ .

Comme $X$ est purement de dimension $d$ , il résulte du lemme 2.3.3 de [30] que $T$ est purement de dimension $d+r$ . Il en est donc de même de son domaine analytique $W$ . De ce fait, la dimension de $V$ est inférieure ou égale à $d+r$ . En tant que domaine affinoïde de $Y$ , l’espace $V$ est purement de dimension $n$ ; on a donc $n\leq d+r$ .

Par ailleurs, par définition de $r$ il existe une composante irréductible $Z$ de $f^{-1}(X)$ contenant $y$ et de dimension $r$ . Celle-ci possède un point $z$ tel que $d_{{\mathscr{H}}(f(x))}(z)=r$ ; comme $d_{k}(x)=d$ , on a $d_{k}(z)=r+d$ .

En conséquence, $d+r\leq n$ , d’où finalement l’égalité $d+r=n$ . ∎

\propname 3.2.7.

Soit $X$ un espace $k$ -analytique sans bord, purement de dimension $n$ . Soit $\omega$ une forme de type $(p,q)$ à coefficients tropicalement continus sur $X$ et soit $K$ son support. Les points $x$ de $K$ tels que $d_{k}(x)=n$ sont denses dans $K$ .

Démonstration.

Quitte à remplacer $X$ par un voisinage ouvert d’un point de $K$ , il suffit de prouver que $K$ contient un tel point $x$ . On peut aussi supposer que $\omega$ est tropicale. Soit donc $(f\colon X\rightarrow\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{N},P,\alpha)$ une présentation de $\omega$ .

Soit $x$ un point de $K$ et soit $V$ un voisinage affinoïde de $x$ possédant la propriété suivante : pour tout voisinage affinoïde $W$ de $x$ dans $V$ , le compact $f_{\text{trop}}(W)$ est un voisinage de $f_{\text{trop}}(x)$ dans $f_{\text{trop}}(V)$ ; l’existence d’un tel $V$ découle de 2.3.3.

Fixons un voisinage affinoïde $W$ de $x$ dans ${\rm Int}\;(V/X)$ . Comme $V$ est un voisinage de $x$ dans $X$ et comme $x$ appartient au support de $\omega$ , la restriction à $V$ de $\omega$ n’est pas nulle. Par suite, $f_{\text{trop}}(x)$ appartient au support de $\alpha|_{f_{\text{trop}}(V)}$ (corollaire 3.2.3).

Fixons une décomposition cellulaire $\mathscr{C}$ de $f_{\text{trop}}(W)$ , et soit $Q$ la réunion des cellules maximales de $\mathscr{C}$ qui contiennent $f_{\text{trop}}(x)$ . Comme $f_{\text{trop}}(W)$ est un voisinage de $f_{\text{trop}}(x)$ dans $f_{\text{trop}}(V)$ , le polytope $Q$ est lui-même un voisinage de $f_{\text{trop}}(x)$ dans $f_{\text{trop}}(V)$ .

Il s’ensuit que $\alpha|_{Q}\neq 0$ ; par conséquent, il existe une cellule maximale $C$ de $\mathscr{C}$ (contenue dans $Q$ ), dont on note $d$ la dimension, telle que $\alpha|_{C}\neq 0$ ; la forme $\alpha$ étant à coefficients continus, il existe un ouvert $C_{1}$ de $C$ , contenu dans son intérieur, tel que $\alpha|_{C_{1}}\neq 0$ ; notons que $C_{1}$ est ouvert dans $f_{\text{trop}}(V)$ .

L’espace $V^{\prime}=(f_{\text{trop}})|_{V}^{-1}(C_{1})\cap{\rm Int}\;V$ est un ouvert de $X$ .

Soit $p\colon\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{N}\rightarrow\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{d}$ un morphisme affine de tores tel que $p_{\text{trop}}$ soit injectif sur $\langle C\rangle$ , de sorte que $C^{\prime}=p_{\text{trop}}(C_{1})$ est un ouvert non vide de $\mathbf{G}_{\mathrm{m},{\text{trop}}}^{d}$ . Il existe une forme $\alpha^{\prime}$ sur $C^{\prime}$ telle que $\alpha|_{C_{1}}=p^{*}\alpha^{\prime}$ . Posons $f^{\prime}=p\circ f$ ; on a $\omega|_{V^{\prime}}=(f^{\prime})^{*}\alpha^{\prime}$ . Écrivons $\alpha^{\prime}=\sum\alpha^{\prime}_{IJ}\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x_{I}\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}x_{J}$ , où $I$ et $J$ parcourent les multiindices de $\{1,\dots,d\}$ de longueurs $p$ et $q$ respectivement. Quitte à restreindre $C_{1}$ , $C^{\prime}$ et donc $V^{\prime}$ , on peut aussi supposer que l’une des fonctions continues $\alpha^{\prime}_{IJ}$ ne s’annule pas sur $C^{\prime}$ .

Fixons une cellule compacte $C_{2}$ non vide, de dimension $d$ et contenu dans $C_{1}$ . Comme $f^{\prime}_{\text{trop}}(W)\supset C_{1}$ , le domaine analytique compact $f_{\text{trop}}^{-1}(C_{2})\cap W$ est non vide, et il est contenu dans $V^{\prime}$ puisque $W\subset{\rm Int}\;V$ . Son image par $f_{\text{trop}}$ est égale à $C_{2}$ , et son image par $f^{\prime}_{\text{trop}}$ est en conséquence un polytope compact et de dimension $d$ de $C^{\prime}$ . Il existe donc $y\in f_{\text{trop}}^{-1}(C_{2})\cap W$ en lequel la dimension tropicale de $f^{\prime}|_{f_{\text{trop}}^{-1}(C_{2})\cap W}$ est égale à $d$ ; la dimension tropicale de $f^{\prime}$ en $y$ est a fortiori égale à $d$ , ce qui signifie que $f^{\prime}(y)$ appartient à la partie $C^{\prime}_{\mathrm{sq}}$ du squelette de $\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{d}$ (2.3.3).

En vertu du lemme 3.2.6 ci-dessus, la fibre $(f^{\prime})|_{V^{\prime}}^{-1}(f^{\prime}(y))$ est purement de dimension $n-d$ . Il existe donc un point $z$ de cette fibre tel que $d_{{\mathscr{H}}(y)}(z)=n-d$ . Comme $d_{k}(f^{\prime}(y))=d$ , il vient $d_{k}(z)=n$ .

Comme $f^{\prime}(z)=f^{\prime}(y)$ appartient à ${\bf S}(\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{d})$ et comme $f^{\prime}|_{V^{\prime}}$ est sans bord puisque $V^{\prime}$ est un ouvert de l’espace sans bord $X$ , il résulte de 2.3.3 que pour tout voisinage affinoïde $U$ de $z$ dans $V^{\prime}$ , le compact $f^{\prime}_{\text{trop}}(U)$ contient un voisinage de $f^{\prime}_{\text{trop}}(z)$ dans $(\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{d})_{\text{trop}}$ . Comme il est par ailleurs contenu dans $C^{\prime}$ par définition de $V^{\prime}$ , il contient un ouvert de $C^{\prime}$ , sur lequel $\alpha$ est non nulle.

Il s’ensuit, d’après le lemme 3.2.2, que $\omega|_{U}$ est non nulle. Ceci valant pour tout $U$ , le point $z$ appartient au support de $\omega$ , ce qui achève la démonstration. ∎

\propname 3.2.8.

Supposons que $X$ soit purement de dimension $n$ et sans bord. Si $\alpha$ est une forme lisse de type $(p,q)$ sur $X$ , non nulle, alors il existe une forme $\beta$ de type $(n-p,n-q)$ sur $X$ telle que $\alpha\wedge\beta\neq 0$ .

Démonstration.

D’après la proposition 3.2.7, il existe un point $x$ du support de $\alpha$ tel que $d_{k}(x)=n$ . Soit $V$ un voisinage affinoïde de $x$ et $f\colon V\rightarrow\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{N}$ un moment qui tropicalise la forme $\alpha$ tel que $f_{\text{trop}}(V)$ soit purement de dimension $n$ . Soit $\eta$ une forme lisse sur $f_{\text{trop}}(V)$ telle que $\alpha=f^{*}\eta$ ; elle n’est pas nulle.

L’image $f_{\text{trop}}(\partial(V))$ est un sous-espace linéaire par morceaux de dimension $\leq n-1$ . Il existe donc un ouvert $Q$ d’une cellule ouverte maximale qui ne rencontre pas $f_{\text{trop}}(\partial(V))$ tel que $\eta|_{Q}\neq 0$ . Comme $\dim(Q)=n$ , on peut trouver une $(n-p,n-q)$ -forme lisse à support compact contenu dans $Q$ telle que $\eta\wedge\eta^{\prime}\neq 0$ . Puisque son support ne rencontre pas $\partial(V)$ , la forme $f^{*}\eta^{\prime}$ sur $V$ se prolonge (par zéro) en une forme lisse $\beta$ à support propre sur $X$ . La restriction à $V$ de $\alpha\wedge\beta$ est égal à $f^{*}(\eta\wedge\eta^{\prime})$ , donc n’est pas nulle (lemme 3.2.2). ∎

\lemmname 3.2.9.

Soit $X$ un espace $k$ -analytique purement de dimension $n$ , et soit $\omega$ une forme à coefficients mesurables sur $X$ , de type $(p,n)$ ou $(n,p)$ pour un certain $p$ . Soit $U$ un ouvert de $X$ . Supposons que le support de $\omega$ est fortement paracompact dans $X$ ; le support de $\omega|_{U}$ est alors fortement paracompact dans $U$ .

Démonstration.

Quitte à remplacer $X$ par un voisinage paracompact $X^{\prime}$ du support de $\omega$ , et $U$ par son intersection avec $X^{\prime}$ , on peut supposer que $X$ est paracompact. En raisonnant composante connexe par composante connexe, on peut le supposer connexe, et partant dénombrable à l’infini.

Il existe alors un G-recouvrement $(X_{i})$ localement fini et dénombrable de $X$ par des domaines affinoïdes qui tropicalisent $\omega$ .

Pour chaque $i$ , la forme $\omega|_{X_{i}}$ admet une présentation $(f_{i}\colon X_{i}\to T_{i},\alpha_{i})$ .

Fixons $i$ , et appelons $\Sigma_{i}$ le sous-ensemble de $X_{i}$ formé des points en lesquels la dimension tropicale de $f_{i}$ est égale à $n$ . Comme le bidegré de $\omega$ est égal à $(n,p)$ ou $(p,n)$ , le support de $\omega|_{X_{i}}$ est contenu dans $\Sigma_{i}$ . Il en résulte, d’après le corollaire 3.2.4, que $\Sigma:=\bigcup\Sigma_{i}$ contient le support de $\omega$ .

Choisissons un isomorphisme $T_{i}\simeq\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{N_{i}}$ . Pour toute partie $J$ de $\{1,\ldots,N_{i}\}$ de cardinal $N$ , notons $f_{i,J}$ le morphisme de $T$ vers $\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{J}$ composé de $f_{i}$ et de la projection naturelle $\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{N_{i}}\to\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{J}$ . La dimension tropicale de $f_{i}$ en un point $x$ de $X$ est alors égale à $n$ si et seulement si il existe $J$ tel que $f_{i,J}$ soit de dimension tropicale $n$ en $x$ .

Autrement dit, $\Sigma_{i}$ est la réunion des $f_{i,J}^{-1}(S(\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{J}))$ . On peut donc écrire $\Sigma_{i}$ comme une réunion finie $\bigcup\mathscr{K}_{ij}$ où chaque $\mathscr{K}_{ij}$ est un compact homéomorphe à un polytope (2.3.4).

L’intersection de $U$ avec chacun des $\mathscr{K}_{ij}$ est homéomorphe à un ouvert d’un polytope et est donc dénombrable à l’infini.

Par conséquent, l’intersection de $U$ avec $\Sigma_{i}$ est dénombrable à l’infini ; comme l’ensemble d’indice $i$ est dénombrable, l’intersection de $U$ avec $\Sigma$ s’écrit comme une réunion dénombrable $\bigcup_{m}\Theta_{m}$ de compacts.

Le lemme 2.1.6 assure que chaque $\Theta_{m}$ possède dans $U$ un voisinage ouvert $U_{m}$ dénombrable à l’infini.

La réunion $V$ des $U_{m}$ est un voisinage ouvert et dénombrable à l’infini de $\Sigma$ dans $U$ ; comme $\Sigma$ contient le support de $\omega$ , l’ouvert $V$ de $X$ est un voisinage paracompact du support de $\omega|_{U}$ .

∎

3.3 Partitions de l’unité

\lemmname 3.3.1.

Soit $X$ un espace $k$ -affinoïde et soit $x$ , $y$ des points distincts de $X$ . Il existe une fonction lisse sur $X$ qui vaut $0$ au voisinage de $x$ et $1$ au voisinage de $y$ .

Démonstration.

Par définition du spectre (analytique) d’une algèbre affinoïde, il existe une fonction holomorphe $f$ sur $X$ telle que $\mathopen{|}{f(x)}\mathclose{|}\neq\mathopen{|}{f(y)}\mathclose{|}$ .

Supposons ces deux valeurs non nulles ; soit $\varphi$ une fonction $\mathscr{C}^{\infty}$ à support compact sur $\mathbf{R}$ valant $0$ au voisinage de $\log\mathopen{|}{f(x)}\mathclose{|}$ et $1$ au voisinage de $\log\mathopen{|}{f(y)}\mathclose{|}$ . La fonction $\varphi\circ\log\mathopen{|}{f}\mathclose{|}$ , définie sur l’ouvert d’inversibilité de $f$ , est lisse ; prolongeons-la par $0$ sur $X$ tout entier. Comme $\varphi$ est à support compact, la fonction obtenue est nulle au voisinage de l’ensemble des zéros de $f$ ; elle est donc lisse.

Si $f(x)=0$ , on raisonne de même à partir d’une fonction $\varphi$ à support compact valant $1$ au voisinage de $\log\mathopen{|}{f(y)}\mathclose{|}$ .

Si $f(y)=0$ , on construit comme ci-dessus une fonction lisse $u$ qui est nulle au voisinage de $y$ et qui vaut $1$ au voisinage de $x$ ; la fonction $1-u$ convient. ∎

\coroname 3.3.2.

Soit $X$ un espace $k$ -affinoïde, soit $K$ un sous-ensemble compact de $X$ , soit $x\in X\mathchoice{\mathbin{\vrule height=3.09999pt,width=6.93192pt,depth=-1.63612pt}}{\mathbin{\vrule height=3.09999pt,width=6.93192pt,depth=-1.63612pt}}{\mathbin{\vrule height=2.15277pt,width=3.65973pt,depth=-1.20554pt}}{\mathbin{\vrule height=0.86108pt,width=2.45418pt,depth=-1.03334pt}}K$ . Il existe une fonction lisse sur $X$ qui vaut $1$ au voisinage de $x$ et nulle au voisinage de $K$ .

Démonstration.

Pour tout $y\in K$ , soit $f_{y}$ une fonction lisse sur $X$ valant $1$ au voisinage de $x$ et nulle dans un voisinage $V_{y}$ de $y$ . Soit $(y_{1},\dots,y_{n})$ une famille finie de points de $K$ telle que les $V_{y_{j}}$ recouvrent $K$ . La fonction $\prod f_{y_{j}}$ convient. ∎

\coroname 3.3.3.

Soit $X$ un bon espace $k$ -analytique topologiquement séparé, soit $x$ un point de $X$ , soit $U$ un voisinage de $x$ . Il existe une fonction lisse sur $X$ qui vaut $1$ au voisinage de $x$ , et dont le support est compact et contenu dans $U$ .

Démonstration.

Soit $V$ un voisinage affinoïde de $x$ ; il est fermé dans $X$ , car $X$ est topologiquement séparé. Par suite, $K=V\mathchoice{\mathbin{\vrule height=3.09999pt,width=6.93192pt,depth=-1.63612pt}}{\mathbin{\vrule height=3.09999pt,width=6.93192pt,depth=-1.63612pt}}{\mathbin{\vrule height=2.15277pt,width=3.65973pt,depth=-1.20554pt}}{\mathbin{\vrule height=0.86108pt,width=2.45418pt,depth=-1.03334pt}}(\mathring{V}\cap U)$ est une partie fermée de $X$ contenue dans $V$ . Soit $f$ une fonction lisse sur $V$ qui vaut $1$ au voisinage de $x$ et qui est nulle au voisinage de $K$ . Soit $g$ la fonction sur $X$ qui coïncide avec $f$ sur $V$ et qui est nulle en dehors de $V$ . Elle est lisse sur l’intérieur de $V$ , sur l’ouvert $X\mathchoice{\mathbin{\vrule height=3.09999pt,width=6.93192pt,depth=-1.63612pt}}{\mathbin{\vrule height=3.09999pt,width=6.93192pt,depth=-1.63612pt}}{\mathbin{\vrule height=2.15277pt,width=3.65973pt,depth=-1.20554pt}}{\mathbin{\vrule height=0.86108pt,width=2.45418pt,depth=-1.03334pt}}V$ , ainsi que sur un voisinage de $K$ dans $X$ ; ces trois ouverts recouvrent $X$ . La fonction $g$ est donc lisse ; son support est contenu dans $U$ , comme il est contenu dans l’affinoïde $V$ , il est aussi compact. ∎

\coroname 3.3.4.

Soit $X$ un bon espace $k$ -analytique topologiquement séparé. Soit $K$ une partie compacte de $X$ et soit $U$ un voisinage ouvert de $K$ dans $X$ . Il existe une fonction $f\colon X\rightarrow[0,1]$ , qui est lisse et à support compact, qui vaut $1$ au voisinage de $K$ et qui est nulle hors de $U$ .

Démonstration.

Pour tout $x\in K$ , soit $f_{x}$ une fonction lisse sur $X$ qui vaut $1$ au voisinage de $x$ et dont le support est compact et contenu dans $U$ . Quitte à remplacer $f_{x}$ par son carré, on peut la supposer positive ou nulle. Comme $K$ est compact, la somme $g$ d’une sous-famille finie de ces fonctions est strictement positive en tout point de $K$ ; elle est lisse et son support est encore compact et contenu dans $U$ . Soit $\varphi$ une fonction $\mathscr{C}^{\infty}$ de $\mathbf{R}$ vers $[0;1]$ , nulle en $0$ et égale à $1$ sur un voisinage de $g(K)$ . La fonction $f=\varphi\circ g$ convient. ∎

\propname 3.3.5 (Stone–Weierstraß).

Soit $X$ un bon espace $k$ -analytique topologiquement séparé, soit $U$ un ouvert de $X$ . Soit $f$ une fonction continue à valeurs réelles sur $X$ dont le support est compact et contenu dans $U$ . Pour tout $\varepsilon>0$ , il existe une fonction lisse $g$ sur $X$ dont le support est compact, contenu dans $U$ , et telle que $\mathopen{|}{f(x)-g(x)}\mathclose{|}<\varepsilon$ pour tout $x\in X$ .

Démonstration.

Soit $X^{\prime}$ le compactifié d’Alexandroff de $X$ ; comme $X$ est localement compact, c’est un espace topologique compact. Soit $\mathscr{S}$ l’ensemble des fonctions réelles sur $X^{\prime}$ qui sont la somme d’une fonction constante et d’une fonction lisse à support compact sur $X$ (prolongée par $0$ au point à l’infini). C’est une sous-algèbre unitaire de l’algèbre des fonctions continues sur $X^{\prime}$ ; elle sépare les points en vertu du corollaire 3.3.3. Prolongée par $0$ au point à l’infini, la fonction $f$ définit une fonction continue $f^{\prime}$ sur $X^{\prime}$ . D’après le théorème de Stone-Weierstraß, il existe un nombre réel $c$ et une fonction lisse à support compact sur $X$ , disons $g$ , tels que $\mathopen{|}{f^{\prime}-g-c}\mathclose{|}<\varepsilon/2$ . En considérant cette inégalité au point à l’infini, on a $\mathopen{|}{c}\mathclose{|}<\varepsilon/2$ , si bien que $\mathopen{|}{f-g}\mathclose{|}<\varepsilon$ en tout point.

Soit $h\colon X\rightarrow[0,1]$ une fonction lisse sur $X$ dont le support est compact et contenu dans $U$ et qui vaut $1$ au voisinage du support de $f$ . La fonction $hg$ est lisse sur $X$ , son support est compact et contenu dans $U$ . Pour $x$ en dehors du support de $f$ , on a $\mathopen{|}{f(x)-h(x)g(x)}\mathclose{|}=\mathopen{|}{h(x)g(x)}\mathclose{|}\leq\mathopen{|}{g(x)}\mathclose{|}=\mathopen{|}{f(x)-g(x)}\mathclose{|}<\varepsilon$ . Si $x$ appartient au support de $f$ , on a $\mathopen{|}{f(x)-h(x)g(x)}\mathclose{|}=\mathopen{|}{f(x)-g(x)}\mathclose{|}<\varepsilon$ . La fonction $hg$ convient. ∎

\propname 3.3.6 (Partitions de l’unité lisses).

Soit $X$ un bon espace $k$ -analytique paracompact.¹¹ 1 Rappelons que la définition d’un espace topologique paracompact le suppose séparé. Soit $(U_{i})_{i\in I}$ un recouvrement ouvert de $X$ . Il existe une partition de l’unité subordonnée à $(U_{i})$ formée de fonctions lisses sur $X$ : pour tout $i$ , une fonction lisse, positive ou nulle, $f_{i}$ sur $X$ , de support contenu dans $U_{i}$ , et telles que $1=\sum f_{i}$ , la somme étant localement finie.

Démonstration.

On peut supposer que $X$ est connexe. Comme il est paracompact, on peut aussi supposer que $(U_{i})$ est un recouvrement ouvert, localement fini de $X$ formé d’ouverts relativement compacts dans $X$ . Puisque $X$ est connexe et paracompact, il est dénombrable à l’infini et l’on peut indexer par l’ensemble des entiers naturel l’ensemble d’indices du recouvrement $(U_{i})$ .

Considérons une partition de l’unité continue $(g_{i})$ subordonnée au recouvrement $(U_{i})$ . Pour tout $i$ , le support de $g_{i}$ est compact. Il existe donc une fonction lisse $h_{i}$ sur $X$ , à support compact contenu dans $U_{i}$ , telle que $\mathopen{|}{h_{i}-g_{i}}\mathclose{|}<1/2^{i+2}$ . Posons $h=\sum h_{i}$ ; c’est la somme d’une famille localement finie donc fonctions lisses, donc c’est une fonction lisse. Pour $x\in X$ ,

h(x)=\sum_{i}h_{i}(x)\geq\sum_{i}g_{i}(x)-\sum_{i}2^{-i-2}\geq 1-\sum_{i=0}^{\infty}2^{-i-2}=\dfrac{1}{2}.

Posons $f_{i}=h_{i}/h$ ; c’est une fonction lisse sur $X$ dont le support est contenu dans $U_{i}$ . On a $\sum f_{i}=1$ . ∎

\coroname 3.3.7.

Soit $X$ un bon espace $k$ -analytique paracompact. Les faisceaux $\mathscr{A}_{X}^{p,q}$ sont fins.

3.4 Existence de tropicalisations (presque) globales

La définition d’une forme lisse est locale, mais lorsque la source est affinoïde, on peut en donner une version partiellement globale ; c’est l’objet de la proposition qui suit.

\propname 3.4.1.

Soit $X$ un espace $k$ -affinoïde et soit $\alpha$ une forme lisse sur $X$ . Il existe une famille finie $(g_{1},\ldots,g_{m})$ de fonctions holomorphes sur $X$ possédant la propriété suivante : soit $x\in X$ , soit $I$ l’ensemble des indices $i$ tels que $g_{i}(x)\neq 0$ , soit $X^{\prime}$ l’ouvert d’inversibilité simultanée des $g_{i}$ pour $i\in I$ et soit $g\colon X^{\prime}\to\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{I}$ le moment $(g_{i})_{i\in I}$ ; le point $g_{\text{trop}}(x)$ possède un voisinage ouvert $\Omega$ dans $(\mathbf{R}^{\times}_{+})^{I}$ tel que $g$ tropicalise $\alpha|_{g_{\text{trop}}^{-1}(\Omega)}$ .

Démonstration.

Soit $x\in X$ . Par définition d’une forme lisse, il existe un voisinage ouvert $U_{x}$ de $x$ dans $X$ , une famille $h_{x}=(h_{x,1},\ldots,h_{x,n_{x}})$ de fonctions holomorphes inversibles sur $U_{x}$ , et une forme lisse $\beta_{x}$ sur $\mathbf{R}^{n_{x}}$ , tels que $\alpha|_{U_{x}}=h_{x}^{*}\beta_{x}$ . Par définition de la topologie de $X$ , on peut supposer qu’il existe une famille finie $(\lambda_{x,1},\ldots,\lambda_{x,r_{x}})$ de fonctions analytiques sur $X$ et, pour tout $j\in\{1,\ldots,r_{x}\}$ , un intervalle ouvert borné $I_{x,j}$ de $\mathbf{R}$ tels que l’ouvert $U_{x}$ soit défini par la conjonction des conditions $|\lambda_{x,j}|\in I_{x,j}$ pour $1\leq j\leq r_{x}$ , et tels que chacune des $h_{x,i}$ soit la restriction à $U_{x}$ d’une fonction inversible (encore notée $h_{x,i}$ ) sur le domaine affinoïde $V_{x}$ de $X$ défini par la conjonction des conditions $|\lambda_{j,x}|\in\overline{I_{x,j}}$ pour $1\leq j\leq r_{x}$ .

On peut en outre remplacer chaque $h_{x,i}$ par une fonction sur $V_{x}$ qui a même tropicalisation. Soit $J$ l’ensemble des indices $j$ tels que $0\notin\overline{I_{x,j}}$ . L’algèbre des fonctions analytiques de la forme $h\prod_{j\in J}\lambda_{x,j}^{n_{j}}$ , où $h$ est holomorphe sur $X$ et où les $n_{j}$ sont des entiers négatifs ou nuls, est dense dans l’algèbre des fonctions analytiques sur $V_{x}$ . Comme la borne inférieure sur $V_{x}$ de la norme de chacune des $h_{x,i}$ est strictement positive, on peut remplacer pour tout $i$ la fonction $h_{x_{i}}$ par une fonction de la forme $h^{\prime}_{x,i}\prod_{j\in J}\lambda_{x,j}^{n_{i,j}}$ , où $h^{\prime}_{x,i}$ est holomorphe sur $X$ et où les $n_{i,j}$ sont des entiers négatifs ou nuls.

Comme $X$ est compact, il admet une partie finie $S$ de $X$ telle que les $U_{x}$ , pour $x\in S$ , recouvrent $X$ . Considérons la famille de toutes les fonctions $h_{x,i}$ et $\lambda_{x,j}$ , pour $x\in S$ , $1\leq i\leq n_{x}$ et $1\leq j\leq r_{x}$ , et renumérotons-la de façon arbitraire en une famille $(g_{1},\dots,g_{m})$ . La description explicite de $\alpha|_{U_{x}}$ donnée ci-dessus pour tout $x\in X$ assure que $(g_{1},\ldots,g_{m})$ satisfait les conclusions de la proposition. ∎

3.4.2 Bref rappel sur les réductions graduées à la Temkin.

Traditionnellement, la réduction $\widetilde{\mathscr{A}}$ d’une algèbre $k$ -affinoïde est définie comme le quotient de l’anneau $\{a\in\mathscr{A},\mathopen{\|}{a}\mathclose{\|}_{\infty}\leq 1\}$ par son idéal $\{a\in\mathscr{A},\mathopen{\|}{a}\mathclose{\|}_{\infty}<1\}$ , où $\mathopen{\|}{a}\mathclose{\|}_{\infty}$ est la (semi)-norme spectrale sur $\mathscr{M}(\mathscr{A})$ , qui coïncide avec le rayon spectral au sens de la théorie générale des algèbres de Banach.

Toutefois, cette réduction ne s’avère exploitable que lorsque $\mathscr{A}$ est strictement $k$ -affinoïde ; elle a en général des propriétés pathologiques – ainsi, si $r\notin\sqrt{|k^{\times}|}$ , l’algèbre $\widetilde{k\{T/r\}}$ est isomorphe à $\tilde{k}$ , alors qu’elle devrait moralement être de dimension $1$ .

Pour remédier à ces défauts, Temkin a développé dans [53] une théorie de la réduction graduée des algèbres affinoïdes.

Rappelons brièvement en quoi elle consiste. Pour toute algèbre $k$ -affinoïde $\mathscr{A}$ , Temkin définit $\widetilde{\mathscr{A}}$ comme l’anneau $\mathbf{R}^{\times}_{+}$ -gradué

\bigoplus_{r>0}\{a\in\mathscr{A},\mathopen{\|}{a}\mathclose{\|}_{\infty}\leq r\}/\bigoplus_{r>0}\{a\in\mathscr{A},\mathopen{\|}{a}\mathclose{\|}_{\infty}<r\}.

Remarquons que la réduction traditionnelle s’interprète maintenant comme l’ensemble des éléments homogènes de degré 1 de $\widetilde{\mathscr{A}}$ (attention, la graduation est multiplicative !).

La plupart des propriétés de la réduction usuelle se déclinent mutatis mutandis dans ce contexte ; il convient simplement de remplacer un certain nombre de notions d’algèbre commutative par leurs avatars gradués. Nous n’entrerons pas ici dans les détails ; le lecteur intéressé pourra consulter [53] ou [32]. Indiquons simplement que l’on dispose d’une application anticontinue de réduction de $X=\mathscr{M}(\mathscr{A})$ vers sa réduction graduée $\widetilde{X}$ , définie comme l’ensemble des idéaux homogènes premiers de $\widetilde{\mathscr{A}}$ .

\lemmname 3.4.3.

Soit $f\colon Y\to X$ un morphisme entre espaces $k$ -affinoïdes et soit $K$ un compact contenu dans $\operatorname{Int}(Y/X)$ . Il existe une famille $(f_{1},\ldots,f_{n})$ de fonctions analytiques non nilpotentes sur $Y$ telle que les propriétés suivantes soient satisfaites, en désignant pour tout $i$ par $\rho_{i}$ le rayon spectral de $f_{i}$ :

1.

Pour tout $y\in K$ et tout $i$ on a $|f_{i}(y)|<\rho_{i}$ ;
2.

Pour tout $y\in\partial(Y/X)$ il existe $i$ tel que $|f_{i}(y)|=\rho_{i}$ .

Démonstration.

Notons $\widetilde{Y}$ et $\widetilde{X}$ les réductions graduées à la Temkin des espaces affinoïdes $Y$ et $X$ , ainsi que $\tilde{f}\colon\widetilde{Y}\to\widetilde{X}$ l’application induite par $\tilde{f}$ . Soit $\pi\colon Y\to\widetilde{Y}$ la flèche de réduction. Notons $\mathscr{A}$ et $\mathscr{B}$ les algèbres respectivement associées à $X$ et $Y$ , et $\widetilde{\mathscr{A}}$ et $\widetilde{\mathscr{B}}$ leurs réductions graduées.

Soit ${\bf y}\in\widetilde{Y}$ . Notons $J_{\bf y}$ (resp $I_{\bf y}$ ) l’idéal de $\widetilde{\mathscr{B}}$ (resp. $\widetilde{\mathscr{A}}$ ) engendré par les éléments homogènes s’annulant sur $\bf y$ (resp. $\tilde{f}({\bf y})$ ). Soit $E$ le sous-ensemble de $\widetilde{Y}$ formé des points $\bf y$ tel que $\widetilde{\mathscr{B}}/J_{\bf y}$ soit finie sur $\widetilde{\mathscr{A}}/I_{\bf y}$ . En vertu du going-up gradué, si ${\bf y}\in E$ alors $\overline{\{\bf y\}}\subset E$ .

L’intérieur $\operatorname{Int}(Y/X)$ est précisément égal à $\pi^{-1}(E)$ ([53], Proposition 3.1).

Soit $y\in K$ . Comme $K\subset\operatorname{Int}(Y/X)$ , on a $\pi(y)\in E$ . L’image réciproque du fermé $\overline{\{\pi(y)\}}$ de $\widetilde{Y}$ est ouverte, et la compacité de $K$ entraîne alors que $\pi(K)$ est contenu dans une réunion finie $F=\bigcup\overline{\{{\bf y}_{i}\}}$ , où les ${\bf y}_{i}$ appartiennent à $E$ ; notons que $F$ est un fermé de $\widetilde{Y}$ , qui est contenu dans $E$ .

Par quasi-compacité de $\widetilde{Y}$ , il existe une famille $(f_{1},\ldots,f_{n})$ de fonctions analytiques non nilpotentes sur $Y$ , de rayons spectraux respectifs $\rho_{1},\ldots,\rho_{n}$ , telle que $F$ soit le lieu des zéros des $\widetilde{f_{i}}$ , où $\widetilde{f_{i}}$ désigne l’image canonique de $f_{i}$ dans le groupe des éléments homogènes de degré $\rho_{i}$ de $\widetilde{\mathscr{A}}$ .

Soit $y\in K$ . Puisque $\pi(y)\in F$ , on a pour tout $i$ l’égalité $\tilde{f_{i}}(\pi(y))=0$ , ce qui signifie exactement que $|f_{i}(y)|<\rho_{i}$ .

Soit $y\in\partial(Y/X)$ . Le point $\pi(y)$ n’appartient pas à $E$ , et a fortiori pas à $F$ . Il s’ensuit qu’il existe $i$ tel que $\tilde{f_{i}}(\pi(y))\neq 0$ , ce qui signifie exactement que $|f_{i}(y)|$ est égal à $\rho_{i}$ . ∎

\propname 3.4.4.

Soit $Y\to X$ un morphisme entre espaces $k$ -affinoïdes, où $Y$ est purement de dimension $n$ . Soit $(\alpha_{1},\ldots,\alpha_{m})$ une famille de formes à coefficients mesurables sur $Y$ . Soit $K$ un compact contenu dans $\operatorname{Int}(Y/X)$ constitué de points $y$ tels que $d_{k}(y)=n$ .

Il existe un voisinage affinoïde $V$ de $K$ dans $\operatorname{Int}(Y/X)$ , qui est un domaine rationnel de $Y$ , et un moment $g\colon V\to T$ tels que les deux propriétés suivantes soient satisfaites :

1) $g$ tropicalise chacune des $\alpha_{i}|_{V}$ ;

2) $g_{\text{trop}}(\partial(V/Y))\cap g_{\text{trop}}(K)=\emptyset$ .

Démonstration.

Soit $\mathscr{A}$ l’algèbre des fonctions analytiques sur $Y$ . Il résulte de la proposition 3.4.1 qu’il existe une famille finie $(h_{1},\ldots,h_{N})$ de fonctions appartenant à $\mathscr{A}$ possédant la propriété suivante :

$(*)$ Soit $y\in Y$ , soit $J$ l’ensemble des indices $j$ tels que $h_{j}(y)\neq 0$ , soit $Y^{\prime}$ l’ouvert d’inversibilité simultanée des $h_{j}$ pour $j\in J$ et soit $h\colon Y^{\prime}\to\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{J}$ le moment $(h_{j})_{j\in J}$ ; le point $h_{\text{trop}}(y)$ possède un voisinage ouvert $\Omega$ dans $(\mathbf{R}^{\times}_{+})^{J}$ tel que $h$ tropicalise chacune des $\alpha_{i}|_{h_{\text{trop}}^{-1}(\Omega)}$ .

Soit $y\in K$ . Comme $d_{k}(y)=n$ , le point $y$ n’est situé sur aucun fermé de Zariski de $Y$ de dimension $<n$ ; comme $Y$ est purement de dimension $n$ , cela signifie que $y$ n’appartient qu’à une composante irréductible de $Y$ , et est Zariski-dense dans celle-ci.

Soit $(Y_{\alpha})$ la famille des composantes irréductibles de $Y$ . On pose $\mathscr{Y}=\operatorname{Spec}\mathscr{A}$ ; pour tout $\alpha$ , on désigne par $\mathscr{Y}_{\alpha}$ la composante irréductible de $\mathscr{Y}$ qui correspond à $Y_{\alpha}$ .

Par le lemme d’évitement des idéaux premiers appliqué sur le schéma affine $\mathscr{Y}$ , il existe une fonction $f$ holomorphe sur $Y$ telle que $f$ s’annule en tout point de $Y_{\alpha}\cap Y_{\beta}$ dès que $\alpha\neq\beta$ , et soit génériquement inversible sur $Y_{\alpha}$ pour tout $\alpha$ ; notons $Z$ (resp. $\mathscr{Z}$ ) le lieu des zéros de $f$ sur $Y$ (resp. $\mathscr{Y}$ ).

Soit $j\in\{1,\ldots,N\}$ . L’ouvert $D(f)$ de $\mathscr{Y}$ est la réunion disjointe des ouverts $\mathscr{Y}_{\alpha}\mathchoice{\mathbin{\vrule height=3.09999pt,width=6.93192pt,depth=-1.63612pt}}{\mathbin{\vrule height=3.09999pt,width=6.93192pt,depth=-1.63612pt}}{\mathbin{\vrule height=2.15277pt,width=3.65973pt,depth=-1.20554pt}}{\mathbin{\vrule height=0.86108pt,width=2.45418pt,depth=-1.03334pt}}\mathscr{Z}$ . Il existe donc $h^{\prime}_{j}\in\mathscr{A}$ sur $Y$ et un entier $n_{j}$ tels que pour tout $\alpha$ la fonction $h^{\prime}_{j}f^{-n_{j}}|_{Y_{\alpha}-Z}$ soit égale à $h_{j}$ si $h_{j}$ est génériquement inversible sur $Y_{\alpha}$ , et égale à $1$ dans le cas contraire :

Modifions la famille $(h_{1},\ldots,h_{N})$ en remplaçant chacun des $h_{j}$ par $h^{\prime}_{j}$ , et en posant $f=h_{N+1}$ ; puis écrivons $N$ au lieu de $N+1$ , pour alléger les notations. La nouvelle famille $(h_{1},\ldots,h_{N})$ ainsi obtenue satisfait encore $(*)$ sous réserve que l’on se limite aux points $y\in Y-Z$ , c’est-à-dire aux points en lesquels $h_{N}=f$ est inversible ; et chacune des $h_{j}$ est maintenant génériquement inversible sur toutes les $Y_{\alpha}$ , et est donc inversible au voisinage de $K$ .

Le compact $K$ est contenu dans $\operatorname{Int}(Y/X)$ . En vertu du lemme 3.4.3, il existe un nombre fini de fonctions analytiques non nilpotentes $\lambda_{1},\ldots,\lambda_{r}$ sur $Y$ , de rayons spectraux respectifs $\rho_{1},\ldots,\rho_{r}$ , telles que :

—

pour tout $\ell$ et tout $y\in K$ , $|\lambda_{\ell}(y)|<\rho_{\ell}$ ;
—

pour tout $y\in\partial(Y/X)$ , il existe $\ell$ tel que $|\lambda_{\ell}|=\rho_{\ell}$ .

Choisissons pour tout $j$ un nombre réel strictement positif $s_{j}$ tel que $|h_{j}|>s_{j}$ sur $K$ , et soit $W$ le domaine affinoïde rationnel de $Y$ défini par la conjonction d’inégalités $|h_{j}|\geq s_{j}$ ; comme $h_{N}$ ne s’annule pas sur $W$ , on peut écrire $W=\coprod(W\cap Y_{\alpha})$ .

Fixons $\alpha$ . Soit $L_{\alpha}$ l’ensemble des indices $\ell$ tels que $\lambda_{\ell}|_{Y_{\alpha}}$ soit génériquement inversible ; elle est alors inversible au voisinage de $K\cap Y_{\alpha}$ . Pour tout $\ell\in L_{\alpha}$ , choisissons deux réels $r_{\ell,\alpha}$ et $R_{\ell,\alpha}$ différents de $1$ , tels que $0<r_{\ell,\alpha}<R_{\ell,\alpha}<\rho_{\ell}$ et tels que $r_{\ell,\alpha}<|\lambda_{\ell}|<R_{\ell,\alpha}$ sur $K\cap Y_{\alpha}$ . Soit $V_{\alpha}$ le domaine affinoïde de $W\cap Y_{\alpha}$ défini par la conjonction des inégalités $r_{\ell,\alpha}\leq|\lambda_{\ell}|\leq R_{\ell,\alpha}$ pour $\ell\in L_{\alpha}$ et soit $V$ le domaine affinoïde $\coprod V_{\alpha}$ de $Y$ ; c’est un domaine rationnel de $W$ , et partant de $Y$ .

Si $\ell\in L_{\alpha}$ , on note $\lambda_{\ell,\alpha}$ la fonction analytique sur $V$ qui vaut $\lambda_{\ell}$ sur $V_{\alpha}$ et $1$ sur $V-V_{\alpha}$ .

Soit $y\in V$ . Il appartient à l’un des $V_{\alpha}$ ; on a donc $|\lambda_{\ell}(y)|\leq R_{\ell,\alpha}<\rho_{\ell}$ si $\ell\in L_{\alpha}$ , et $\lambda_{\ell}(y)=0<\rho_{\ell}$ sinon. En conséquence, le point $y$ n’appartient pas à $\partial(Y/X)$ ; il vient $V\subset\operatorname{Int}(Y/X)$ .

Soit $y\in\partial(V/Y)$ . Par définition du domaine affinoïde $V$ , on est dans l’un des deux cas suivants, non exclusifs l’un de l’autre.

—

Premier cas : il existe $j$ tel que $|h_{j}|(y)=s_{j}$ . On a alors $|h_{j}(y)|\notin|h_{j}|(K)$ .
—

Second cas : il existe $(\ell,\alpha)$ tel que $y\in Y_{\alpha},\ell\in L_{\alpha}$ et $|\lambda_{\ell,\alpha}(y)|\in\{r_{\ell,\alpha},R_{\ell,\alpha}\}$ . La définition de $r_{\ell,\alpha}$ et $R_{\ell,\alpha}$ assure alors que $|\lambda_{\ell,\alpha}(y)|\notin|\lambda_{\ell,\alpha}(K\cap Y_{\alpha})|$ ; et comme $r_{\ell,\alpha}$ et $R_{\ell,\alpha}$ sont différents de $1$ , le réel $|\lambda_{\ell,\alpha}(y)|$ n’appartient pas non plus à $|\lambda_{\ell,\alpha}(K-Y_{\alpha})|$ ; il s’ensuit que $|\lambda_{\ell,\alpha}(y)|\notin|\lambda_{\ell,\alpha}|(K)$ .

Soit $g$ le moment défini sur $V$ par la concaténation des $h_{j}$ et des $\lambda_{\ell,\alpha}$ ; il résulte de ce qui précède que $g_{\text{trop}}(\partial(V/Y))\cap g_{\text{trop}}(K)=\emptyset$ . Par ailleurs, soit $y\in V$ . Par choix des $h_{j}$ , il existe un polytope compact $P_{x}$ qui est un voisinage de $g_{\text{trop}}(x)$ dans $g_{\text{trop}}(V)$ tel que chacune des $\alpha_{i}|_{g_{\text{trop}}^{-1}(P_{x})}$ provienne via $g_{\text{trop}}$ d’une forme $\beta_{i,x}$ sur $P_{x}$ . Le lemme 3.2.2 assure que les $\beta_{i,x}$ sont uniquement déterminées ; il garantit également leur recollement lorsque $x$ varie. Ainsi, $g$ tropicalise chacune des $\alpha_{i}$ . ∎

3.5 Calibrage canonique d’une tropicalisation

3.5.1

Soit $X$ un espace $k$ -analytique compact purement de dimension $n$ et soit $f\colon X\rightarrow T$ un moment sur $X$ .

L’espace $f_{\text{trop}}(X)$ est un polytope compact de $T_{\text{trop}}$ . Soit $\mathscr{C}$ une décomposition cellulaire de $f_{\text{trop}}(X)$ .

On construit comme suit un calibrage $\mu_{f}$ de $f_{\text{trop}}(X)$ qui est partout non nul. On dit que c’est le calibrage canonique de $f_{\text{trop}}(X)$ .

Soit $C$ une cellule de $\mathscr{C}$ de dimension $n$ . Choisissons un morphisme de tores $q$ de $T$ dans le tore $\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n}$ tel que la restriction à $\langle C\rangle$ de l’application affine

q_{\text{trop}}\colon T_{\text{trop}}\rightarrow(\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n})_{\text{trop}}\simeq_{\log}\mathbf{R}^{n}

soit un isomorphisme, et soit $\sigma\colon\mathbf{R}^{n}\rightarrow T_{\text{trop}}$ l’unique section de $\mathopen{|}{q}\mathclose{|}$ dont l’image est le sous-espace affine $\langle C\rangle$ .

L’image de $\partial X$ par $(q\circ f)_{\text{trop}}$ est contenue dans un polytope de dimension $\leq n-1$ .

Il existe donc une décomposition cellulaire $\mathscr{D}$ de $C$ telle que pour toute cellule ouverte $D$ de $\mathscr{C}$ de dimension $n$ , la cellule image $q_{\text{trop}}(D)$ ne rencontre pas $(q\circ f)_{\text{trop}}(\partial X)$ . L’ouvert $f_{\text{trop}}^{-1}(D)$ est alors, d’après les résultats du §2.4, fini et plat de degré strictement positif sur $q(D)_{\mathrm{sq}}$ ; on note $d_{D}$ le degré en question. Soit $\mathopen{|}{e_{1}\wedge\dots\wedge e_{n}}\mathclose{|}$ le vecteur-volume de $\mathbf{R}^{n}$ associé à son orientation pour laquelle la base canonique $(e_{1},\dots,e_{n})$ est directe et au $n$ -vecteur $e_{1}\wedge\dots\wedge e_{n}$ . Posons alors

\mu_{D}=d_{D}\,\big((\sigma)_{*}(\mathopen{|}{e_{1}\wedge\dots\wedge e_{n}}\mathclose{|})\big).

Si l’on modifie $q$ en le composant par un morphisme de tores $\varphi$ de $\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n}$ dans lui-même, cela multiplie le degré $d_{D}$ par le degré de $\varphi$ , c’est-à-dire par $\mathopen{|}{\det(M_{\varphi})}\mathclose{|}$ , où $M_{\varphi}\in\mathrm{M}_{n}(\mathbf{Z})$ est la matrice des exposants de $\varphi$ . En outre, $\sigma$ est remplacé par $\sigma\circ{\varphi_{\text{trop}}}^{-1}$ et le vecteur-volume $\mathopen{|}{e_{1}\wedge\dots\wedge e_{n}}\mathclose{|}$ est multiplié par l’inverse de $\mathopen{|}{\det(M_{\varphi})}\mathclose{|}$ . Par suite, $\mu_{D}$ est indépendant du choix de $q$ .

On définit ainsi un calibrage $(\mu_{D})$ de $C$ , qui ne dépend donc pas de $q$ , ni de la décomposition $\mathscr{D}$ : il suffit en effet de s’assurer qu’il est insensible à un raffinement de celle-ci, ce qui est immédiat.

En concaténant les familles $(\mu_{D})$ ainsi construites sur les différentes $p$ -cellules de $\mathscr{C}$ , on définit un calibrage de l’espace $f_{\text{trop}}(X)$ . Il ne dépend pas de la décomposition $\mathscr{C}$ : il suffit en effet, là encore, de s’assurer qu’il est insensible à un raffinement de celle-ci, ce qui est clair.

\lemmname 3.5.2.

Soit $X$ un espace $k$ -analytique compact purement de dimension $n$ , soit $f\colon X\rightarrow T$ un moment sur $X$ , et soit $p\colon T\to T^{\prime}$ un morphisme affine de tores.

Le calibrage canonique $\mu_{p\circ f}$ de $(p\circ f)_{\text{trop}}(X)=p_{\text{trop}}(f_{\text{trop}}(X))$ est égal à $p_{{\text{trop}}*}\mu_{f}$ .

Démonstration.

Choisissons une décomposition cellulaire $\mathscr{C}$ de $f_{\text{trop}}(X)$ et une décomposition cellulaire $\mathscr{D}$ de $p_{\text{trop}}(f_{\text{trop}}(X))$ telle que $p_{\text{trop}}(C)\in\mathscr{D}$ pour toute cellule $C\in\mathscr{C}$ .

Soit $D$ une $n$ -cellule de $\mathscr{D}$ , et soit $\mathscr{C}_{D}$ l’ensemble des $n$ -cellules de $\mathscr{C}$ s’envoyant sur $D$ ; pour toute cellule $C\in\mathscr{C}_{D}$ , l’application $f_{\text{trop}}$ induit des isomorphismes

\langle C\rangle\simeq\langle D\rangle\;\text{et}\;C\simeq D.

Soit $q$ une projection affine de $T^{\prime}$ sur un $\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n}$ telle que $q_{\text{trop}}|_{D}$ soit injective, et soit $\Delta$ une cellule de dimension $n$ contenue dans l’intérieur de $q_{\text{trop}}(D)$ et ne rencontrant pas $(q\circ p\circ f)_{\text{trop}}(\partial X)$ . On note $\Delta_{D}$ l’image réciproque de $\Delta$ sur $D$ , et $\Delta_{C}$ l’image réciproque de $\Delta$ sur $C$ pour toute $C\in\mathscr{C}$ .

On note $\sigma_{D}$ la réciproque de l’isomorphisme $\langle D\rangle\simeq\mathbf{R}^{n}$ induit par $q_{\text{trop}}$ (et le logarithme) ; pour tout $C\in\mathscr{C}_{D}$ , on note de même $\sigma_{C}$ la réciproque de l’isomorphisme $\langle C\rangle\simeq\mathbf{R}^{n}$ induit par $p_{\text{trop}}\circ q_{\text{trop}}$ .

Soit $d_{D}$ le degré de $(p\circ f)_{\text{trop}}^{-1}(\Delta_{D})$ sur $D_{{\mathrm{sq}}}$ ; pour tout $C\in\mathscr{C}_{D}$ , soit $d_{C}$ le degré de $f_{\text{trop}}^{-1}(\Delta_{C})$ sur $D_{{\mathrm{sq}}}$ .

Comme $(p\circ f)_{\text{trop}}^{-1}(\Delta_{D})$ est la réunion disjointe des $f_{\text{trop}}^{-1}(\Delta_{C})$ pour $C\in\mathscr{C}_{D}$ , on a $d_{D}=\sum_{C\in\mathscr{C}_{D}}d_{C}$ .

Munissons $\mathbf{R}^{n}$ de l’orientation donnée par sa base canonique, et soit $e$ le $n$ -vecteur standard de $\mathbf{R}^{n}$ . On note $o_{D}$ l’orientation de $\langle D\rangle$ déduite de $o$ via $q_{\text{trop}}$ ; pour tout $C\in\mathscr{C}_{D}$ , on note $o_{C}$ l’orientation de $\langle C\rangle$ déduite de $o$ via $p_{\text{trop}}\circ q_{\text{trop}}$ .

Pour tout $C\in\mathscr{C}_{D}$ , le calibrage $\mu_{f}$ vaut $(o_{C},d_{C}\sigma_{C}(e))$ sur $\Delta_{C}$ ; et le calibrage $\mu_{p\circ f}$ vaut $(o_{D},d_{D}\sigma_{D}(e))$ sur $\Delta_{D}$ .

Comme $p_{\text{trop}}\circ\sigma_{C}=\sigma_{D}$ pour toute $C\in\mathscr{D}$ , la valeur sur $\Delta_{D}$ du calibrage $p_{\text{trop}}(\mu_{f})$ est égale à $(o_{D},(\sum_{C\in\mathscr{C}_{D}}d_{C})\sigma_{D}(e))=(o_{D},d_{D}\sigma_{D}(e))$ , c’est-à-dire à $\mu_{p\circ f}(\Delta_{D})$ . ∎

3.6 Condition d’harmonie

\theoname 3.6.1.

Soit $X$ un espace $k$ -analytique compact purement de dimension $n$ . Soit $f\colon X\rightarrow T$ un moment, soit $\mu_{f}$ le calibrage de $f_{\text{trop}}(X)$ , et soit $\mathscr{C}$ une décomposition cellulaire de $f_{\text{trop}}(X)$ adaptée à $\mu_{f}$ . Toute $(n-1)$ -cellule $F$ de $\mathscr{C}$ qui n’est pas contenue dans $f_{\text{trop}}(\partial X)$ est harmonieuse

Démonstration.

Quitte à étendre les scalaires, on peut supposer que la valuation du corps de base $k$ est non triviale. Quitte à raffiner la décomposition polytopale, on suppose que $f_{\text{trop}}(\partial X)$ est contenu dans la réunion des $(n-1)$ -cellules de $\mathscr{C}$ .

Soit $F$ une $(n-1)$ -cellule de $\mathscr{C}$ qui n’est pas contenue dans $f_{\text{trop}}(\partial X)$ . Qualifions de bonne toute surjection affine $u\colon T_{\text{trop}}\rightarrow\mathbf{R}^{n}$ qui possède les propriétés suivantes :

—

si $C$ est une $n$ -cellule de $\mathscr{C}$ contenant $F$ alors $u|_{\langle C\rangle}$ est injective ;
—

si $G$ est une $(n-1)$ -cellule de $\mathscr{C}$ qui diffère de $F$ alors

$\langle u(G)\rangle\neq\langle u(F)\rangle.$

Chacune de ces conditions définit un ouvert de Zariski non vide de l’espace affine ${\rm Aff}(T_{\text{trop}},\mathbf{R}^{n})$ . L’ensemble $\Omega$ des bonnes applications affines de $T_{\text{trop}}$ dans $\mathbf{R}^{n}$ est donc un ouvert de Zariski dense de ${\rm Aff}(T_{\text{trop}},\mathbf{R}^{n})$ ; notons $\Omega_{\mathbf{Z}}$ le sous-ensemble de $\Omega$ formé des applications affines dont la partie vectorielle est entière et la partie de translation est dans $\log\mathopen{|}{k^{\times}}\mathclose{|}$ ; on peut également décrire $\Omega_{\mathbf{Z}}$ comme l’ensemble des applications affines appartenant à $\Omega$ qui sont de la forme $p_{\text{trop}}$ où $p\colon T\rightarrow\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n}$ est un morphisme affine et surjectif de tores. Comme $|k^{\times}|\neq\{1\}$ , l’ensemble $\Omega_{\mathbf{Z}}$ est non vide, et rencontre même tout ouvert de Zariski non vide de ${\rm Aff}(T_{\text{trop}},\mathbf{R}^{n})$ .

Soit $u\in\Omega_{\mathbf{Z}}$ et soit $p\colon T\rightarrow\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n}$ un morphisme affine et surjectif de tores tel que $u=p_{\text{trop}}$ . Notons $\mathscr{C}_{F}$ l’ensemble des cellules appartenant à $\mathscr{C}$ dont $F$ est une face. Notons $H^{+}$ et $H^{-}$ les deux demi-espaces délimités par $p_{\text{trop}}(\langle F\rangle)$ . Soit $C$ un élément de $\mathscr{C}_{F}$ ; alors $p_{\text{trop}}(C)$ est contenu dans l’un des deux demi-espaces $H^{+}$ et $H^{-}$ , et l’un deux seulement ; on posera $\varepsilon_{C}=1$ si $p_{\text{trop}}(C)\subset H^{+}$ et $\varepsilon_{C}=-1$ sinon. Notons aussi $\sigma_{C}\colon\mathbf{R}^{n}\rightarrow T_{\text{trop}}$ l’unique section de $p_{\text{trop}}$ dont l’image est $\langle C\rangle$ .

Par définition d’une bonne application affine, il existe $x\in F$ et un pavé ouvert $U\subset\mathbf{R}^{n}$ de centre $y:=p_{\text{trop}}(x)$ possédant les propriétés suivantes :

—

les seules cellules fermées de $\mathscr{C}$ contenant $x$ sont $F$ et les éléments de $\mathscr{C}_{F}$ , ce qui implique que $\bigcup_{C\in\mathscr{C}_{F}}C$ est un voisinage de $x$ dans $f_{\text{trop}}(X)$ ;
—

si $G$ est une $(n-1)$ -cellule de $\mathscr{C}$ différente de $F$ alors $p_{\text{trop}}(G)\cap U=\emptyset$ .

Posons $U^{+}=U\cap H^{+}$ et $U^{-}=U\cap H^{-}$ . Pour toute $C\in\mathscr{P}_{F}$ , l’image réciproque de $U$ sur $C$ est un demi-pavé $U_{C}$ (fermé le long de sa tranche médiane) de l’espace affine $\langle C\rangle$ , qui s’envoie homéomorphiquement sur $U^{+}$ si $\varepsilon_{C}=1$ et sur $U^{-}$ si $\varepsilon_{C}=-1$ . La réunion $V$ des $U_{C}$ , pour $C\in\mathscr{C}_{F}$ , est une composante connexe de $p_{\text{trop}}^{-1}(U)$ .

La condition 2) ci-dessus et les hypothèses faites sur $F$ et sur la décomposition $\mathscr{C}$ garantissent que $U$ ne rencontre pas $(p\circ f)_{\text{trop}}(\partial X)$ . Il résulte alors de la section 2.4 que $(p\circ f)|_{f_{\text{trop}}^{-1}(V)}$ est fini et plat sur $U_{\mathrm{sq}}$ ; soit $d$ le degré correspondant.

Pour toute $C\in\mathscr{C}_{F}$ , notons $U^{\prime}_{C}$ le demi-pavé ouvert $U_{C}-F$ . Les composantes connexes de l’image réciproque de $U^{++}:=U^{+}-p_{\text{trop}}(F)$ dans $V$ sont exactement les $U^{\prime}_{P}C$ pour les polytopes $C\in\mathscr{P}_{F}$ tels que $\varepsilon_{C}=1$ . Comme $f_{\text{trop}}^{-1}(V)$ est fini et plat de degré $d$ sur $U^{++}_{\mathrm{sq}}$ , on en déduit l’assertion suivante : pour toute $C$ tel que $\varepsilon_{C}=1$ , l’ouvert $f_{\text{trop}}^{-1}(U^{\prime}_{C})$ de $X$ est fini et plat sur $U^{++}$ , et si $d_{C}$ désigne le degré correspondant alors $d=\sum d_{C}$ .

Les composantes connexes de l’image réciproque de $U^{--}:=U^{-}-p_{\text{trop}}(F)$ dans $V$ sont exactement les $U^{\prime}_{C}$ pour les indices $i$ tels que $\varepsilon_{C}=-1$ . Comme $f_{\text{trop}}^{-1}(V)$ est fini et plat de degré $d$ sur $U^{--}_{\mathrm{sq}}$ , on en déduit l’assertion suivante : pour toute $C$ tel que $\varepsilon_{C}=-1$ , l’ouvert $f_{\text{trop}}^{-1}(U^{\prime}_{C})$ de $X$ est fini et plat sur $U^{--}$ , et si $d_{C}$ désigne le degré correspondant alors $d=\sum d_{C}$ .

Il résulte par ailleurs de la définition des entiers $d_{C}$ et du calibrage $\mu_{f}$ que pour toute cellule $C\in\mathscr{C}_{F}$ , la restriction de $\mu_{f}$ à $U^{\prime}_{C}$ est égale à $\varepsilon_{C}\,d_{C}\,\sigma_{C,*}(e_{1}\wedge\dots\wedge e_{n})$ . La discordance de $\mu_{f}$ le long de $f$ est donc égale à la somme

\sum_{C\in\mathscr{C}_{F}}\varepsilon_{C}\,d_{C}\,\sigma_{C,*}(e_{1}\wedge\dots\wedge e_{n}).

Comme

\sum_{C,\epsilon_{C}=1}d_{C}=\sum_{C,\epsilon_{C}=-1}d_{C}=d,

on a $\sum\epsilon_{C}d_{C}=0$ . Par suite,

\bigwedge^{n}p_{\text{trop}}(\mu_{F})=\sum_{C}\varepsilon_{C}d_{C}e_{1}\wedge\dots\wedge e_{n}=0.

Cela prouve que $\mu_{C}$ appartient au noyau de $\bigwedge^{n}p_{\text{trop}}$ .

Ceci vaut pour tout morphisme affine $p$ de tores tel que $p_{\text{trop}}$ soit une bonne application affine. Par conséquent,

\mu_{F}\in\bigcap_{u\in\Omega_{\mathbf{Z}}}\ker\bigwedge^{n}u.

On en déduit que $\mu_{F}=0$ . ∎

3.7 Intégrales et intégrales de bord des formes tropicales

3.7.1

Soit $X$ un espace analytique compact, purement de dimension $n$ .

Soit $\omega$ une forme à coefficients mesurables sur $X$ , de type $(n,n)$ (resp. $(n-1,n)$ ) ; on la suppose tropicale.

Soit $(f\colon X\to T,\alpha)$ une présentation de $\omega$ . Les faits suivants résultent de 1.5.8, du lemme 3.5.2, et du caractère filtrant de la catégorie des présentations de $\omega$ .

—

L’intégrale $\int_{f_{\text{trop}}(X)}\langle\mathopen{|}{\alpha}\mathclose{|},\mu_{f}\rangle$ (resp. $\int_{f_{\text{trop}}(X)}\langle\mathopen{|}{\alpha}\mathclose{|},\partial\mu_{f}\rangle$ ) ne dépend que de $\omega$ , et pas de la présentation choisie. On la note $\int_{X}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}$ (resp. $\int_{\partial X}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}$ ). On dit que $\omega$ est intégrable (resp. intégrable le long de $\partial X$ ) si cette intégrale est finie.
—

Si $\alpha$ est $\mu_{f}$ -intégrable (resp. $\partial\mu_{f}$ -intégrable), l’intégrale $\int_{f_{\text{trop}}(X)}\langle\alpha,\mu_{f}\rangle$ (resp. $\int_{f_{\text{trop}}(X)}\langle\alpha,\partial\mu_{f}\rangle$ ) ne dépend que de $\omega$ , et pas de la présentation choisie. On la note $\int_{X}\omega$ (resp. $\int_{\partial X}\omega$ ).

Soit $X^{\prime}$ un domaine analytique compact de $X$ ; posons $\omega^{\prime}=\omega|_{X^{\prime}}$ . On écrira $\int_{X^{\prime}}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}$ (resp. $\int_{\partial X^{\prime}}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}$ ) au lieu de $\int_{X^{\prime}}\mathopen{|}{\omega^{\prime}}\mathclose{|}$ (resp. $\int_{\partial X^{\prime}}\mathopen{|}{\omega^{\prime}}\mathclose{|}$ ).

Si $\omega^{\prime}$ est intégrable (resp. intégrable le long de $\partial X^{\prime}$ ) on écrira $\int_{X^{\prime}}\omega$ (resp. $\int_{\partial X^{\prime}}\omega$ ) au lieu de $\int_{X^{\prime}}\omega^{\prime}$ (resp. $\int_{\partial X^{\prime}}\omega^{\prime}$ ).

\propname 3.7.2.

Soit $V$ un espace $k$ -analytique compact purement de dimension $n$ . Soit $\omega$ une forme de type $(n,n)$ à coefficients mesurables sur $V$ , que l’on suppose tropicale. Soit $W,W_{1}$ et $W_{2}$ trois domaines analytiques compacts de $V$ .

On a

\int_{W_{1}}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}\leq\int_{W_{1}\cup W_{2}}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}=\int_{W_{1}}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}+\int_{W_{2}}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}-\int_{W_{1}\cap W_{2}}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|},

\text{et}\;\int_{W_{1}\cup W_{2}}\omega=\int_{W_{1}}\omega+\int_{W_{2}}\omega-\int_{W_{1}\cap W_{2}}\omega

si $\omega|_{W_{1}\cup W_{2}}$ est intégrable.

2.

Supposons que $W$ contient le support de $\omega$ . On a alors $\int_{W}|\omega|=\int_{V}|\omega|$ , et $\int_{W}\omega=\int_{V}\omega$ si $\omega$ est intégrable.

\propname 3.7.3.

Soit $V$ un espace $k$ -analytique compact purement de dimension $n$ . Soit $\omega$ une forme de type $(n-1,n)$ à coefficients mesurables sur $V$ , que l’on suppose tropicale. Soit $W,W_{1}$ et $W_{2}$ trois domaines analytiques compacts de $V$ .

Chacun des quatre termes

\int_{\partial(W_{1}\cup W_{2})}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|},\int_{\partial W_{1}}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|},\int_{\partial W_{2}}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}\;\text{et}\;\int_{\partial(W_{1}\cap W_{2})}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}

est majoré par la somme des trois autres, et s’ils sont tous finis alors

\int_{\partial(W_{1}\cup W_{2})}\omega=\int_{\partial W_{1}}\omega+\int_{\partial W_{2}}\omega-\int_{\partial(W_{1}\cap W_{2}}\omega.

2.

Supposons que $W$ est un voisinage de $\operatorname{supp}(\omega)$ . On a alors $\int_{\partial W}|\omega|=\int_{\partial V}|\omega|$ , et $\int_{\partial W}\omega=\int_{\partial V}\omega$ si $\omega$ est intégrable le long de $\partial V$ .

Les démonstrations des deux propositions sont en grande partie similaires ; pour éviter d’inutiles répétitions, nous les prouvons simultanément.

Démonstration.

Soit $W$ un domaine analytique compact de $V$ qui s’écrit $W_{1}\cup W_{2}$ , où $W_{1}$ et $W_{2}$ sont deux domaines analytiques compacts de $V$ . On suppose que $W$ contient le support de $\omega$ si $\omega$ est de bi-degré $(n,n)$ , et qu’il est un voisinage de ce support si elle est de type $(n-1,n)$ . Fixons une présentation $(f\colon V\rightarrow T,\alpha)$ de $\omega$ .

Choisissons une décomposition cellulaire $\mathscr{C}$ de $f_{\text{trop}}(V)$ qui possède les propriétés suivantes :

1.

Les parties $f_{\text{trop}}(W),f_{\text{trop}}(W_{1})$ , $f_{\text{trop}}(W_{2})$ et $f_{\text{trop}}(W_{1}\cap W_{2})$ sont réunions de cellules appartenant à $\mathscr{C}$ ;
2.

Cette décomposition est compatible avec les calibrages $\mu_{f},\mu_{f|_{W}},\mu_{f|_{W_{1}}},\mu_{f|_{W_{2}}}$ et $\mu_{f|_{W_{1}\cap W_{2}}}$ (que l’on prolonge par $0$ en dehors de leurs polytopes de définition respectifs).

Soit $C\in\mathscr{C}$ , et soit $p\colon T\to\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n}$ un morphisme affine surjectif de tores tel que $p_{\text{trop}}|_{C}$ soit injective. Choisissons un pavé ouvert $P$ dans l’intérieur $\mathring{C}$ de $C$ , dont l’image $R$ par $p_{\text{trop}}$ ne rencontre pas $(p\circ f)_{\text{trop}}(\partial V\cup\partial W\cup\partial W_{1}\cup\partial W_{2}\cup\partial(W_{1}\cap W_{2}))$ , et qui possède la propriété suivante : si $\alpha|_{\mathring{C}}\neq 0$ alors $P$ rencontre le support de $\alpha$ .

L’ouvert $U=f_{\text{trop}}^{-1}(P)$ est alors fini et plat sur $R_{\mathrm{sq}}$ ; appelons $d$ le degré correspondant. En vertu de l’hypothèse faite sur $R$ , l’ouvert $U$ ne rencontre aucun des bords des différents domaines analytiques en jeu ; dès lors, toute composante connexe de $U$ qui rencontre $W$ (resp. $W_{1}$ , resp. $W_{2}$ , resp. $W_{1}\cap W_{2}$ ) est entièrement contenue dans $W_{1}\cup W_{2}$ (resp. …). Par conséquent, $U$ s’écrit $U^{\prime}\coprod U_{1}\coprod U_{12}\coprod U_{2}$ , où $U^{\prime}$ est la réunion des composantes connexes de $U$ contenues dans $V-W$ , où $U_{1}$ est la réunion des composantes connexes de $U$ contenues dans $W_{1}-W_{2}$ , où $U_{2}$ est défini de façon symétrique, et où $U_{12}$ est la réunion des composantes connexes de $U$ contenues dans $W_{1}\cap W_{2}$ .

Les ouverts $U^{\prime}$ , $U_{1}\coprod U_{12}$ , $U_{2}\coprod U_{12}$ et $U_{12}$ sont finis et plats au-dessus de $R_{\mathrm{sq}}$ ; si l’on note $d^{\prime}$ , $d_{1}$ , $d_{2}$ et $d_{12}$ les degrés correspondants on a $d=d^{\prime}+d_{1}+d_{2}-d_{12}$ .

\lemmname 3.7.4.

Si $\omega$ est de type $(n,n)$ et si $\alpha|_{\mathring{C}}\neq 0$ alors $d^{\prime}=0$ .

Démonstration.

Pour le voir, on raisonne par l’absurde en supposant que $d^{\prime}$ est non nul.

Par choix de $P$ , on a $\alpha|_{P}\neq 0$ ; en conséquence, il existe un polytope compact $P_{0}$ contenu dans $P$ , qui est un voisinage dans $P$ d’un point de $\operatorname{supp}(\alpha)$ ; l’intersection $U^{\prime\prime}:=U^{\prime}\cap f_{\text{trop}}^{-1}(P_{0})$ est un domaine affinoïde de $U^{\prime}$ . Comme on a supposé que $d^{\prime}\geq 1$ , on a $R_{\mathrm{sq}}\subset p\circ f(U^{\prime})$ , et donc $f_{\text{trop}}(U^{\prime})=P$ , ce qui entraîne que $f_{\text{trop}}(U^{\prime\prime})=P_{0}$ . La restriction $\alpha|_{P_{0}}$ étant non nulle, la restriction à $U^{\prime\prime}$ de $\omega$ n’est pas nulle (lemme 3.2.2), ce qui contredit l’inclusion du support de $\omega$ dans $W$ .

∎

Revenons à la démonstration des propositions 3.7.2 et 3.7.3. Soit $\sigma$ la section de $p_{\text{trop}}$ d’image $\langle C\rangle$ , et soit $|{\bf e}|$ l’image par $\sigma$ du vecteur-volume standard de $\mathbf{R}^{n}$ .

On a alors par définition

	$\displaystyle\mu_{f}(C)$	$\displaystyle=d\|{\bf e}\|,$
	$\displaystyle\mu_{f\|_{W}}(\mathring{C})$	$\displaystyle=(d_{1}+d_{2}-d_{12})\|{\bf e}\|,$
	$\displaystyle\mu_{f\|_{W_{1}}}(C)$	$\displaystyle=d_{1}\|{\bf e}\|,$
	$\displaystyle\mu_{f\|_{W_{2}}}(C)$	$\displaystyle=d_{2}\|{\bf e}\|$
	et
	$\displaystyle\mu_{f\|_{W_{1}\cap W_{2}}}(C)$	$\displaystyle=d_{12}\|{\bf e}\|.$

Il vient

\mu_{f|_{W}}(C)=\mu_{f|_{W_{1}}}(C)+\mu_{f|_{W_{2}}}(\mathring{C})-\mu_{f|_{W_{1}\cap W_{2}}}(C),

et $\mu_{f}(C)=\mu_{f|_{W}}(C)$ si $\omega$ est de type $(n,n)$ et si $\alpha|_{\mathring{C}}\neq 0$ , puisqu’on a alors $d^{\prime}=0$ d’après le lemme 3.7.4 ci-dessus.

\remaname 3.7.5.

Tous les vecteurs volumes dont il vient d’être question sont des multiples entiers positifs d’un même vecteur volume, à savoir $\mathopen{|}{\bf e}\mathclose{|}$ .

Supposons que $\omega$ est de type $(n,n)$ . Le calcul des différentes intégrales en jeu dans la proposition 3.7.2 ne fait alors intervenir effectivement que les cellules $C\in\mathscr{C}$ telles que $\alpha|_{\mathring{C}}\neq 0$ . Il en résulte, compte-tenu de ce qui précède et de la remarque 3.7.5, que

\int_{W_{1}}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}\leq\int_{V}|\omega|=\int_{W}|\omega|=\int_{W_{1}}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}+\int_{W_{2}}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}-\int_{W_{1}\cap W_{2}}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|},

et que

\int_{V}\omega=\int_{W}\omega=\int_{W_{1}}\omega+\int_{W_{2}}\omega-\int_{W_{1}\cap W_{2}}\omega

dans le cas intégrable (la remarque 3.7.5 ne sert que pour la première ligne). Ceci achève de démontrer la proposition 3.7.2.

Supposons maintenant que $\omega$ est de type $(n-1,n)$ . Soit $F$ une $(n-1)$ -cellule de $\mathscr{C}$ . On a en vertu de ce qui précède l’égalité

\partial\mu_{f|_{W}}(F)=\partial\mu_{f|_{W_{1}}}(F)+\ \partial\mu_{f|_{W_{2}}}(F)-\partial\mu_{f|_{W_{1}\cap W_{2}}}(F),

d’où l’on déduit (à l’aide de l’inégalité triangulaire pour ce qui concernent les intégrales de bord de $\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}$ ) l’assertion 1) de la proposition 3.7.3.

Il reste à prouver l’assertion 2) de la proposition 3.7.3. On suppose donc que $\omega$ est de type $(n-1,n)$ et que $W$ est un voisinage du support de $\omega$ .

En recouvrant le compact $V-\text{Int}\;(W/V)$ par un nombre fini de domaines affinoïdes qui ne rencontrent pas le support de $\omega$ , on obtient un domaine analytique compact $Z$ de $X$ qui est disjoint du support de $\omega$ , et tel que $Z\cup W=X$ .

Comme $Z$ ne rencontre pas le support de $\omega$ , les intégrales $\int_{\partial Z}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}$ et $\int_{\partial(Z\cap W)}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}$ sont nulles. En appliquant l’assertion 1) de la proposition 3.7.3, déjà établie, il vient alors

\int_{\partial X}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}=\int_{\partial W}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}.

L’égalité $\int_{\partial X}\omega=\int_{\partial W}\omega$ dans le cas intégrable se démontre exactement de la même manière. ∎

3.8 Intégrales et intégrales de bord sur les domaines d’un bon espace $k$ -analytique

3.8.1

Soit $X$ un espace $k$ -analytique, purement de dimension $n$ , et soit $\omega$ une forme de type $(n,n)$ (resp. $(n-1,n)$ ) à coefficients mesurables sur $X$ .

On appellera atlas intégral sur $X$ adapté à $\omega$ une famille $(X_{i},\lambda_{i},Y_{i})$ où :

$\bullet$ $(X_{i})$ est une famille d’ouverts relativement compacts de $X$ qui recouvre $\operatorname{supp}(\omega)$ ;

$\bullet$ $(\lambda_{i})$ est une partition de l’unité lisse sur $\bigcup X_{i}$ , subordonnée à $(X_{i})$ , et les $\lambda_{i}$ sont à support compact ;

$\bullet$ $Y_{i}$ est pour tout $i$ un voisinage analytique compact de $\operatorname{supp}(\lambda_{i}\omega|_{X_{i}})$ dans $X_{i}$ qui tropicalise $\lambda_{i}$ et $\omega$ .

Notons que s’il existe un atlas intégral $(X_{i},\lambda_{i},Y_{i})$ sur $Y$ adapté à $\omega$ , il existe pour tout domaine analytique fermé $Z$ de $X$ un atlas intégral sur $Z$ adapté à $\omega$ (c’est-à-dire, plus rigoureusement, à $\omega|_{Z}$ ) : il suffit de prendre $(X_{i}\cap Z,\lambda_{i}|_{Z\cap\bigcup X_{i}},Y_{i}\cap Z)$ , que l’on notera plus simplement $(X_{i},\lambda_{i},Y_{i})|_{Z}$ .

3.8.2

Supposons que $X$ est bon et que $\operatorname{supp}(\omega)\cap Y$ est fortement paracompact dans $X$ ; il existe alors un atlas intégral sur $Y$ adapté à $\omega$ .

En effet, choisissons un voisinage ouvert paracompact $\Omega$ de $\operatorname{supp}(\omega)\cap Y$ dans $X$ .

Il existe une famille $(V_{i})_{i\in I}$ de domaines affinoïdes de $\Omega$ telle que les $\mathring{V}_{i}$ recouvrent $\Omega$ . Soit $(\lambda_{i})_{i\in I}$ une partition de l’unité lisse sur $\Omega$ subordonnée au recouvrement $(\mathring{V}_{i})_{i}$ .

Pour tout $i\in I$ , le support de $\lambda_{i}\omega$ est constitué de points $x$ tels que $d_{k}(x)=n$ (lemme 3.2.5). D’après la proposition 3.4.4, il existe un voisinage affinoïde $U_{i}$ du support de $\lambda_{i}\omega$ dans $V_{i}$ qui tropicalise $\lambda_{i}$ et $\omega$ .

La famille $(\mathring{V}_{i}\cap Y,\lambda_{i}|_{\Omega\cap Y},U_{i}\cap Y)$ est alors un atlas intégral sur $Y$ adapté à $\omega$ .

Notons qu’on peut également, étant donné un ensemble fini $\mathscr{F}$ de formes mesurables sur $X$ , imposer de surcroît aux $U_{i}$ , et a fortiori aux $U_{i}\cap Y$ , de tropicaliser les formes appartenant à $\mathscr{F}$ .

3.8.3

On fait l’hypothèse qu’il existe un atlas intégral $(X_{i},\lambda_{i},Y_{i})$ sur $X$ qui est adapté à $\omega$ .

On pose $\int_{X}|\omega|=\sum\int_{Y_{i}}\lambda_{i}|\omega|$

\text{(resp.}\;\;\int_{\partial X}|\omega|=\sum\int_{\partial Y_{i}}\lambda_{i}|\omega|\;\;\text{)}.

On dira que la forme $\omega$ est intégrable sur $X$ (resp. sur $\partial X$ ) si $\int_{X}|\omega|<+\infty$ (resp. $\int_{\partial X}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}<+\infty$ ).

Si c’est le cas, $\lambda_{i}\omega$ est intégrable sur $Y_{i}$ (resp. sur $\partial Y_{i}$ ) pour tout $i$ , et la famille $(\int_{Y_{i}}\lambda_{i}\omega)_{i}$ (resp. $\int_{\partial Y_{i}}\lambda_{i}\omega_{i}$ ) est sommable. On pose alors

\int_{X}\omega=\sum_{i}\int_{Y_{i}}\lambda_{i}\omega_{i},

\text{(resp.}\;\int_{\partial X}\omega=\sum_{i}\int_{\partial Y_{i}}\lambda_{i}\omega)_{i}\;\text{)}.

Les valeurs de $\int_{X}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}$ (resp. $\int_{\partial X}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}$ ), et de $\int_{X}\omega$ (resp. $\int_{\partial X}\omega$ ) dans le cas intégrable semblent dépendre de notre choix d’atlas intégral. Il n’en est en réalité rien, comme le montre le lemme ci-dessous – ce qui justifie a posteriori nos notations.

\lemmname 3.8.4.

Démonstration.

Supposons tout d’abord que $\omega$ est de type $(n,n)$ .

Insensibilité au choix des $Y_{i}$ . Supposons donnée la famille $(X_{i},\lambda_{i})$ , et fixons $i$ . L’élément $\int_{Y_{i}}\lambda_{i}|\omega|$ de $[0;+\infty]$ et, le cas échéant, le réel $\int_{Y_{i}}\lambda_{i}\omega$ ne dépendent pas du choix de $Y_{i}$ .

Pour le voir, on choisit un (autre) domaine analytique compact $(Y^{\prime}_{i})$ de $X_{i}$ qui est un voisinage de $\operatorname{supp}(\lambda_{i}\omega)$ dans $X_{i}$ .

On a alors en vertu de l’assertion 2) de la proposition 3.7.2 les égalités

\int_{Y_{i}}\lambda_{i}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}=\int_{Y_{i}\cap Y^{\prime}_{i}}\lambda_{i}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}=\int_{Y^{\prime}_{i}}\lambda_{i}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|},

et les mêmes sans valeurs absolues en cas d’intégrabilité, ce qu’on souhaitait établir.

Insensibilité au choix de tout l’atlas. On suppose donné l’atlas intégral $(X_{i},\lambda_{i},Y_{i})$ ; soit $(X^{\prime}_{i},\lambda^{\prime}_{i},Y^{\prime}_{i})$ un autre atlas intégral sur $Y$ adapté à $\omega$ .

On peut modifier les $Y_{i}$ (ce qui, par ce qui précède, ne change pas les intégrales en jeu) de sorte que pour tout $i$ , le domaine analytique compact $Y_{i}$ tropicalise tous les $\lambda^{\prime}_{j}$ : cela provient du fait que si $i$ est fixé, presque toutes les fonctions $\lambda^{\prime}_{j}$ sont nulles sur $X_{i}$ (qui est relativement compact). De même, pour tout $j$ , on modifie $Y^{\prime}_{j}$ de sorte qu’il tropicalise toutes les fonctions lisses $\lambda_{i}$ . Posons $U=\bigcup X_{i}$ et $U^{\prime}=\bigcup X^{\prime}_{j}$ .

Comme les $\lambda_{i}$ et les $\lambda_{j}^{\prime}$ sont à support compact (dans $U$ et $U^{\prime}$ respectivement), on les prolonge par $0$ en des fonctions lisses sur $Y$ tout entier.

Fixons $i$ et $j$ . L’intégrale $\int_{Y^{\prime}_{j}}\lambda^{\prime}_{j}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}$ est alors égale à $\sum_{i}\int_{Y_{i}\cap Y^{\prime}_{j}}\lambda_{i}\lambda^{\prime}_{j}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}$ (notons qu’ici la somme est finie, puisque les $\lambda_{i}$ sont presque toutes nulles au voisinage du compact $Y^{\prime}_{j}$ ).

En effet, $\sum\lambda_{i}=1$ sur $U$ . Il existe donc un voisinage analytique compact $\Omega$ de $(\operatorname{supp}\omega)\cap Y^{\prime}_{j}$ dans $Y^{\prime}_{j}$ sur lequel $\sum\lambda_{i}=1$ (notons que par compacité de $\Omega$ cette somme est finie).

En vertu de l’assertion 2) de la proposition 3.7.2, il vient

\int_{ZY_{j}}\lambda^{\prime}_{j}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}=\int_{\Omega}\lambda^{\prime}_{j}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}=\sum_{i}\int_{\Omega}\lambda_{i}\lambda^{\prime}_{j}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}

=\sum_{i}\int_{\Omega\cap Y_{i}}\lambda_{i}\lambda^{\prime}_{j}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}=\sum_{i}\int_{Y^{\prime}_{j}\cap Y_{i}}\lambda_{i}\lambda^{\prime}_{j}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|},

comme annoncé. On a de même pour tout couple $(i,j)$ l’égalité

\int_{Y_{i}}\lambda_{i}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}=\sum_{j}\int_{Y_{i}\cap Y^{\prime}_{j}}\lambda_{i}\lambda^{\prime}_{j}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}.

On peut dès lors écrire

\sum_{j}\int_{Y^{\prime}_{j}}\lambda^{\prime}_{j}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}=\sum_{i,j}\int_{Y^{\prime}_{j}}\lambda_{i}\lambda^{\prime}_{j}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}=\sum_{j}\sum_{i}\int_{Y_{i}\cap Y^{\prime}_{j}}\lambda_{i}\lambda^{\prime}_{j}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}\\ =\sum_{j}\sum_{i}\int_{Y_{i}}\lambda_{i}\lambda^{\prime}_{j}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}=\sum_{i}\int_{Y_{i}}\lambda_{i}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}

ce qui prouve que $\int_{X}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}$ ne dépend pas pas du choix d’un l’atlas intégral adapté à $\omega$ .

Lorsque $\omega$ est intégrable, l’intégrale $\int_{X}\omega$ ne dépend pas non plus des choix faits : pour le prouver, on décalque la démonstration ci-dessus en remplaçant partout $\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}$ par $\omega$ .

La preuve du lemme lorsque $\omega$ est une $(n-1,n)$ -forme est en tout point similaire à celle que l’on vient de donner pour les $(n,n)$ -formes, à ceci près qu’elle se fonde sur l’assertion 2) de la proposition 3.7.3 au lieu de l’assertion 2) de la proposition 3.7.2. ∎

3.8.5 Compatibilité avec les définitions précédentes

Supposons maintenant que $X$ est compact, et que $\omega$ est tropicale.

Les définitions ci-dessus de $\int_{X}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}$ (resp. $\int_{\partial X}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}$ ), et de $\int_{X}\omega$ (resp. $\int_{\partial X}\omega$ ) dans le cas intégrable, coïncident avec celles données au paragraphe 3.7 : on le voit en choisissant comme atlas intégral adapté à $\omega$ la famille singleton $\{(X,1,X)\}$ .

3.9 Premières propriétés de l’intégrale

Soit $X$ un bon espace $k$ -analytique purement de dimension $n$ .

3.9.1

Soit $\omega$ une $(n,n)$ -forme (resp. une $(n-1,n)$ -forme) à support fortement paracompact dans $X$ .

Soit $U$ un ouvert de $X$ et soit $Y$ un domaine analytique fermé de $U$ .

La forme $\omega|_{U}$ est à support fortement paracompact dans $U$ en vertu du lemme 3.2.9.

On peut donc définir $\int_{Y}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}$ , (resp. $\int_{\partial Y}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}$ ), et $\int_{Y}\omega$ , (resp. $\int_{\partial Y}\omega$ ) dans le cas intégrable.

Si $Y$ est compact et si $\omega|_{Y}$ est tropicale, ces définitions coïncident avec celles du paragraphe 3.7.

3.9.2

L’intégrale est linéaire dans le sens suivant. Soit $(\omega_{\ell})$ une famille localement finie et dénombrable de formes mesurables de type $(n,n)$ (resp. $(n-1,n)$ ) à supports fortement paracompacts dans $X$ , et soit $(r_{\ell})$ une famille de nombres réels.

La forme $\omega:=\sum r_{\ell}\omega_{\ell}$ est alors bien définie, et à support fortement paracompact dans $X$ : pour le voir, on choisit pour tout $\ell$ un ouvert paracompact $X_{\ell}$ de $X$ contenant $\operatorname{supp}(\omega_{\ell})$ .

Chaque composante connexe de $X_{\ell}$ est dénombrable à l’infini. Comme les $X_{\ell}$ sont en nombre dénombrable, chaque composante connexe de $\bigcup X_{\ell}$ est dénombrable à l’infini. Par conséquent, $\bigcup X_{\ell}$ est un ouvert paracompact de $X$ contenant le support de chacune des $\omega_{\ell}$ , et a fortiori le support de $\sum r_{\ell}\omega_{\ell}$ .

On a alors

\int_{X}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}\leq\sum|r_{\ell}|\int_{X}\mathopen{|}{\omega_{\ell}}\mathclose{|}

\text{(resp.}\;\int_{\partial X}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}\leq\sum|r_{\ell}|\int_{\partial X}\mathopen{|}{\omega_{\ell}}\mathclose{|}\;\;\text{),}

\int_{X}\omega=\sum r_{\ell}\int_{Y}\omega_{\ell}

\text{(resp.}\;\int_{\partial X}\omega=\sum r_{\ell}\int_{\partial X}\omega_{\ell}\;\;\text{)}

dans le cas intégrable.

Pour le voir, on commence par choisir un ouvert paracompact $Z$ de $X$ contenant $\bigcup\operatorname{supp}(\omega_{\ell})$ (on a vu ci-dessus qu’un tel ouvert existe toujours).

Donnons-nous une famille $(V_{i})$ de domaines affinoïdes de $Z$ tels que les $\mathring{V}_{i}$ recouvrent $Z$ , et une partition de l’unité lisse $(\lambda_{i})$ sur $Z$ , subordonnée à $(\mathring{V}_{i})$ .

Fixons $i$ . Comme la famille $(\omega_{\ell})$ est localement finie, et comme le support de $\lambda_{i}\omega_{\ell}$ est constitué pour tout $\ell$ de points $x$ tels que $d_{k}(x)=n$ (lemme 3.2.5), il existe en vertu de la proposition 3.4.4, un voisinage affinoïde $U_{i}$ de $\bigcup_{\ell}\operatorname{supp}(\lambda_{i}\omega_{\ell})$ dans $V_{i}$ qui tropicalise $\lambda_{i}$ et toutes les $\omega_{\ell}$ (celles qui sont nulles sur $V_{i}$ sont automatiquement tropicales).

La famille $(\mathring{V}_{i}\,\lambda_{i},U_{i})|$ est un atlas intégral sur $X$ adapté à $\omega$ et à chacune des $\omega_{\ell}$ ; on peut donc calculer toutes les intégrales en jeu au moyen de cet atlas, et le résultat cherché s’ensuit immédiatement.

\remaname 3.9.3.

Supposons qu’il existe une partition de l’unité mesurable $(g_{\ell})$ telle que $\omega_{\ell}=g_{\ell}\omega$ pour tout $\ell$ . On montre alors par la même méthode que ci-dessus que

\int_{X}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}=\sum\int_{X}\mathopen{|}{\omega_{\ell}}\mathclose{|}.

3.9.4

Soit $\omega$ une forme mesurable de bidegré $(n,n)$ (resp. $(n-1,n)$ ) telle qu’il existe un atlas intégral $(X_{i},\lambda_{i},T_{i})$ sur $X$ , adapté à $\omega$ .

Soit $Y$ un domaine analytique fermé de $X$ , et soit $Z$ un domaine analytique fermé de $Y$ . Supposons que $Z$ contienne (resp. soit un voisinage) de $\operatorname{supp}(\omega)\cap Y$ .

On a alors $\int_{Z}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}=\int_{Y}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}$ (resp. $\int_{\partial Z}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}=\int_{\partial Y}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}$ ), et $\int_{Z}\omega=\int_{Y}\omega$ (resp. $\int_{\partial Z}\omega=\int_{\partial Y}\omega$ ) dans le cas intégrable.

En effet, les différentes intégrales en jeu peuvent se calculer au moyen des atlas $(X_{i},\lambda_{i},T_{i})|_{Y}$ et $(X_{i},\lambda_{i},T_{i})|_{Z}$ , et l’assertion découle dès lors aussitôt de la proposition 3.7.2 (resp. 3.7.3).

Par un raisonnement analogue également fondé sur la proposition 3.7.2 (resp. 3.7.3), on montre que si $Y_{1}$ et $Y_{2}$ sont deux domaines analytiques fermés de $X$ , alors :

$\bullet$ $\int_{Y_{1}\cup Y_{2}}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}=\int_{Y_{1}}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}+\int_{Y_{2}}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}-\int_{Y_{1}\cap Y_{2}}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}$

(resp. chacun des quatre termes $\int_{\partial(Y_{1}\cup Y_{2})}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}$ , $\int_{\partial Y_{1}}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}$ , $\int_{\partial Y_{2}}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}$ , $\int_{\partial(Y_{1}\cap Y_{2})}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}$ est majoré par la somme des trois autres) ;

$\bullet$ $\int_{Y_{1}\cup Y_{2}}\omega=\int_{Y_{1}}\ \omega+\int_{Y_{2}}\omega-\int_{Y_{1}\cap Y_{2}}\omega$

(resp. $\int_{\partial(Y_{1}\cup Y_{2})}\omega=\int_{\partial Y_{1}}\omega+\int_{\partial Y_{2}}\omega-\int_{\partial(Y_{1}\cap Y_{2})}\omega$ ) dans le cas intégrable.

3.10 Propriétés spécifiques aux intégrales de $(n,n)$ -formes

Soit $X$ un bon espace $k$ -analytique purement de dimension $n$ , et soit $\omega$ une forme mesurable de type $(n,n)$ telle qu’il existe un atlas intégral sur $X$ adapté à $\omega$ .

3.10.1

Soit $Y$ un domaine analytique fermé de $X$ , et soit $Y^{\prime}$ un domaine analytique fermé de $Y$ . On a alors $\int_{Y^{\prime}}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}\leq\int_{Y}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}$ . Cela résulte en effet immédiatement de la définition de l’intégrale et de la proposition 3.7.2.

3.10.2

On a l’égalité

\int_{X}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}=\sup_{Y}\int_{Y}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|},

où $Y$ parcourt l’ensemble des domaines analytiques compacts de $X$ .

On sait en effet par ce qui précède que

\int_{X}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}\geq\sup_{Y}\int_{Y}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}.

Soit $\alpha<\int_{X}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}$ .

Donnons-nous un atlas intégral $(X_{i},\lambda_{i},Y_{i})$ sur $X$ adapté à $\omega$ .

Il existe un ensemble fini $I$ d’indices tel que $\sum_{i}\int_{Y_{i}}\lambda_{i}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}>\alpha$ . Soit $Y$ la réunion des $Y_{i}$ pour $i\in I$ . C’est un domaine analytique compact de $X$ .

En calculant $\int_{Y}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}$ au moyen de l’atlas $(X_{i},\lambda_{i},Y_{i})|_{Y}$ , on voit que $\int_{Y}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}\geq\sum_{i}\int_{Y_{i}}\lambda_{i}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}>\alpha$ , d’où notre assertion.

3.10.3

On suppose à partir de maintenant que pour tout ouvert $U$ de $X$ , il existe un atlas intégral sur $U$ adapté à $\omega|_{U}$ ; c’est par exemple le cas dès que $\omega$ est à support fortement paracompact dans $X$ .

Il découle alors de 3.10.1 et 3.10.2 que l’on a pour tout ouvert $U$ de $X$ l’inégalité $\int_{U}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}\leq\int_{X}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}$ .

3.10.4

Soit $Y$ un domaine analytique fermé de $X$ et soit $U$ l’ouvert $X-Y$ . Il résulte de la description locale des domaines analytiques par Temkin ([53], §4) que la fonction caractéristique ${\bf 1}_{Y}$ est une $(0,0)$ -forme à coefficients mesurables (et même tropicalement continus par morceaux) ; il en va évidemment de même de ${\bf 1}_{U}$ .

\propname 3.10.5.

On a $\int_{Y}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}=\int_{X}{\bf 1}_{Y}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}$ , et $\int_{Y}\omega=\int_{X}{\bf 1}_{Y}\omega$ dans le cas intégrable.

On a $\int_{U}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}=\int_{X}{\bf 1}_{U}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}$ , et $\int_{U}\omega=\int_{X}{\bf 1}_{U}\omega$ dans le cas intégrable.

Démonstration.

Traitons d’abord le cas des intégrales sur $Y$ .

On a $\int_{Y}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}=\int_{Y}{\bf 1}_{Y}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}$ , puisque $\omega|_{Y}={\bf 1}_{Y}\omega|_{Y}$ . Et comme $Y$ contient le support de ${\bf 1}_{Y}\omega$ , cette dernière intégrale est égale à $\int_{X}{\bf 1}_{Y}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}$ ; on procède de même pour les intégrales sans valeurs absolues, dans le cas intégrable.

Venons-en maintenant au cas de $U$ . Soit $(X_{i},\lambda_{i},Z_{i})$ un atlas intégral sur $X$ adapté à $\omega$ , tel que chacun des $Z_{i}$ tropicalise également ${\bf 1}_{Y}$ (ou ${\bf 1}_{U}$ , ce qui est pareil).

On a $\int_{U}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}=\sum_{i}\int_{U}\lambda_{i}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}$ , et $\int_{X}{\bf 1}_{U}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}=\sum_{i}\int_{X}{\bf 1}_{U}\lambda_{i}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}$ , et les égalités analogues sans valeurs absolues dans le cas intégrable. Pour tout $i$ , le support de la forme $\lambda_{i}\omega$ est contenu dans $Z_{i}$ ; d’après le paragraphe 3.9.4, on a donc

\int_{U}\lambda_{i}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}=\int_{U\cap Z_{i}}\lambda_{i}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}\quad\text{et}\quad\int_{X}\mathbf{1}_{U}\lambda_{i}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}=\int_{Z_{i}}\mathbf{1}_{U}\lambda_{i}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|},

ainsi que les égalités analogues sans valeurs absolues.

Quitte à remplacer $X$ par $Z_{i}$ , $U$ par $U\cap Z_{i}$ et $\omega$ par $\lambda_{i}\omega$ , on peut donc supposer que $X$ est compact et que $\omega$ et ${\bf 1}_{U}$ sont tropicales, définies par un moment $f\colon X\to T$ . Posons $P=f_{\text{trop}}(X)$ , $Q=f_{\text{trop}}(Y)$ . Soit $\alpha$ la $(n,n)$ -forme mesurable sur $P$ telle que $\omega=f^{*}\alpha$ . On a $Y=f_{\text{trop}}^{-1}(Q)$ et $Y=f_{\text{trop}}^{-1}(P\mathchoice{\mathbin{\vrule height=3.09999pt,width=6.93192pt,depth=-1.63612pt}}{\mathbin{\vrule height=3.09999pt,width=6.93192pt,depth=-1.63612pt}}{\mathbin{\vrule height=2.15277pt,width=3.65973pt,depth=-1.20554pt}}{\mathbin{\vrule height=0.86108pt,width=2.45418pt,depth=-1.03334pt}}Q)$ .

Par définition,

\int_{X}\mathbf{1}_{U}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}=\int_{P}\langle\mathbf{1}_{P\mathchoice{\mathbin{\vrule height=2.17pt,width=4.85236pt,depth=-1.14528pt}}{\mathbin{\vrule height=2.17pt,width=4.85236pt,depth=-1.14528pt}}{\mathbin{\vrule height=1.50694pt,width=2.56181pt,depth=-0.84387pt}}{\mathbin{\vrule height=0.60275pt,width=1.71793pt,depth=-0.72334pt}}Q}\mathopen{|}{\alpha}\mathclose{|},\mathopen{|}{\mu_{f}}\mathclose{|}\rangle=\int_{P\mathchoice{\mathbin{\vrule height=2.17pt,width=4.85236pt,depth=-1.14528pt}}{\mathbin{\vrule height=2.17pt,width=4.85236pt,depth=-1.14528pt}}{\mathbin{\vrule height=1.50694pt,width=2.56181pt,depth=-0.84387pt}}{\mathbin{\vrule height=0.60275pt,width=1.71793pt,depth=-0.72334pt}}Q}\langle\mathopen{|}{\alpha}\mathclose{|},\mathopen{|}{\mu_{f}}\mathclose{|}\rangle.

Par ailleurs, soit $(O_{i})$ un recouvrement de $P\mathchoice{\mathbin{\vrule height=3.09999pt,width=6.93192pt,depth=-1.63612pt}}{\mathbin{\vrule height=3.09999pt,width=6.93192pt,depth=-1.63612pt}}{\mathbin{\vrule height=2.15277pt,width=3.65973pt,depth=-1.20554pt}}{\mathbin{\vrule height=0.86108pt,width=2.45418pt,depth=-1.03334pt}}Q$ par des ouverts relativement compacts, $(\theta_{i})$ une partition de l’unité subordonnée au recouvrement $(O_{i})$ formée de fonctions lisses à supports compacts et, pour tout $i$ , un polytope compact $Q_{i}$ de $P\mathchoice{\mathbin{\vrule height=3.09999pt,width=6.93192pt,depth=-1.63612pt}}{\mathbin{\vrule height=3.09999pt,width=6.93192pt,depth=-1.63612pt}}{\mathbin{\vrule height=2.15277pt,width=3.65973pt,depth=-1.20554pt}}{\mathbin{\vrule height=0.86108pt,width=2.45418pt,depth=-1.03334pt}}Q$ voisinage dans $O_{i}$ du support de $\theta_{i}\alpha$ . On a alors

\int_{P\mathchoice{\mathbin{\vrule height=2.17pt,width=4.85236pt,depth=-1.14528pt}}{\mathbin{\vrule height=2.17pt,width=4.85236pt,depth=-1.14528pt}}{\mathbin{\vrule height=1.50694pt,width=2.56181pt,depth=-0.84387pt}}{\mathbin{\vrule height=0.60275pt,width=1.71793pt,depth=-0.72334pt}}Q}\langle\mathopen{|}{\alpha}\mathclose{|},\mathopen{|}{\mu_{f}}\mathclose{|}\rangle=\sum_{i}\int_{Q_{i}}\theta_{i}\langle\mathopen{|}{\alpha}\mathclose{|},\mathopen{|}{\mu_{f}|_{Q_{i}}}\mathclose{|}\rangle.

En outre, on a

\int_{Q_{i}}\theta_{i}\langle\mathopen{|}{\alpha}\mathclose{|},\mathopen{|}{\mu_{f}|_{Q_{i}}}\mathclose{|}\rangle=\int_{f_{\text{trop}}^{-1}(Q_{i})}\mathopen{|}{f^{*}(\theta_{i}\alpha)}\mathclose{|}=\int_{f_{\text{trop}}^{-1}(Q_{i})}f^{*}(\theta_{i})\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}.

Alors, la famille $(f_{\text{trop}}^{-1}(O_{i}),f^{*}(\theta_{i}),f_{\text{trop}}^{-1}(Q_{i}))_{i}$ est un atlas intégral sur $U$ adapté à $\omega$ . On a donc

\int_{U}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}=\sum_{i}\int_{f_{\text{trop}}^{-1}(Q_{i})}f^{*}(\theta_{i})\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|},

d’où l’égalité $\int_{U}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}=\int_{X}\mathbf{1}_{U}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}$ . Dans le cas intégrable, la preuve de l’égalité $\int_{U}\omega=\int_{X}\mathbf{1}_{U}\omega$ est identique, en enlevant les valeurs absolues du calcul précédent. ∎

\coroname 3.10.6.

Soit $X$ un bon espace analytique de dimension $n$ , soit $\omega$ une $(n,n)$ -forme intégrable sur $X$ . Soit $\mathscr{B}$ l’algèbre de Boole engendrée par les domaines analytiques fermés de $X$ . Il existe une unique application additive de $\mathscr{B}$ dans $\mathbf{R}$ , notée $B\mapsto\int_{B}\omega$ , qui coïncide avec l’intégrale usuelle si $B$ est un domaine analytique fermé ou un complémentaire d’un tel domaine analytique.

\propname 3.10.7.

Soit $X$ un bon espace $k$ -analytique de dimension $n$ . Soit $\omega$ une $(n-1,n)$ -forme mesurable sur $X$ dont le support est fortement paracompact dans $X$ et ne rencontre pas $\partial X$ . On a alors $\int_{\partial X}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}=0$ , et $\int_{\partial X}\omega=0$ .

Démonstration.

La définition de l’intégrale supposer que $X$ est paracompact et sans bord. Choisissons une famille $(V_{i})$ de domaines affinoïdes de $X$ telle que les $\mathring{V}_{i}$ recouvrent $X$ . Soit $(\lambda_{i})$ une partition de l’unité lisse subordonnée au recouvrement $(\mathring{V}_{i})$ .

Fixons un indice $i$ . D’après la proposition 3.4.4, il existe un voisinage affinoïde $U_{i}$ du support $K_{i}$ de $\lambda_{i}\omega$ dans $\mathring{V}_{i}=\operatorname{Int}(V_{i}/k)$ et un moment $(f_{i}\colon U_{i}\rightarrow T_{i})$ qui tropicalise $\lambda_{i}\omega_{i}$ et satisfait la condition

f_{i,{\text{trop}}}(\partial(U_{i}/{V_{i}}))\cap f_{i,{\text{trop}}}(K_{i})=\emptyset.

Démontrons alors que l’on a $\int_{\partial U_{i}}\lambda_{i}\omega=0$ . Soit $\alpha$ la $(n-1,n)$ -forme sur $f_{i,{\text{trop}}}(U_{i})$ telle que $\lambda_{i}\omega|_{U_{i}}=f_{i}^{*}\alpha$ ; d’après le corollaire 3.2.3, son support est $f_{i,{\text{trop}}}(K_{i})$ . Choisissons une décomposition cellulaire $\mathscr{C}$ de $f_{i,{\text{trop}}}(U_{i})$ adaptée au calibrage $\mu_{f_{i}}$ .

Soit alors $F$ une $(n-1)$ -cellule de $\mathscr{C}$ . Si $F$ est disjointe de $g_{i,{\text{trop}}}(K_{i})$ , l’intégrale $\int_{F}\langle\alpha,\mu_{f_{i}}\rangle$ est nulle. Sinon, $F$ rencontre $g_{i,{\text{trop}}}(K_{i})$ . Puisque $U_{i}\subset\operatorname{Int}(V_{i}/k)$ , $\operatorname{Int}(U_{i}/V_{i})=\operatorname{Int}(U_{i})$ , d’où $\partial(U_{i}/V_{i})=\partial U_{i}$ .

En particulier, $f_{i,{\text{trop}}}(\partial(U_{i}/V_{i}))=f_{i,{\text{trop}}}(\partial U_{i})$ , si bien que $F$ n’est pas contenue dans $f_{i,{\text{trop}}}(\partial U_{i})$ . D’après le théorème 3.6.1, $F$ est harmonieuse et ne contribue donc pas à l’intégrale $\int_{\partial U_{i}}\lambda_{i}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}$ . Cela démontre la nullité de $\int_{\partial U_{i}}\lambda_{i}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}$ ; Il s’ensuit que $\int_{\partial X}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}=0$ ; la nullité de $\int_{\partial X}\omega$ se démontre de la même manière. ∎

3.11 Positivité, régularité et continuité

\propname 3.11.1.

Soit $X$ un bon espace $k$ -analytique de dimension $n$ , soit $\omega$ une $(n,n)$ -forme lisse sur $X$ et soit $V$ un domaine analytique compact de $X$ tel que $\omega$ est nulle sur $V$ . Pour tout $\varepsilon>0$ , il existe un voisinage $W$ de $V$ dans $X$ qui est un domaine analytique compact tel que $\int_{W}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}\leq\varepsilon$ .

Démonstration.

En revenant à la définition de l’intégrale, on se ramène au cas où $V$ est contenu dans l’intérieur d’un domaine affinoïde $V^{\prime}$ adapté à $\omega$ . Soit $f\colon V^{\prime}\rightarrow T$ un moment et soit $\alpha$ une $(n,n)$ -forme sur $f_{\text{trop}}(V^{\prime})$ telle que $\omega|_{V^{\prime}}=f^{*}\alpha$ .

Considérons une décomposition polytopale $\mathscr{P}^{\prime}$ de $f_{\text{trop}}(V^{\prime})$ telle que $f_{\text{trop}}(V)$ soit réunion de cellules de $\mathscr{P}^{\prime}$ et qui soit adaptée au calibrages $\mu_{f}$ de $f_{\text{trop}}(V)$ et $f_{\text{trop}}(V^{\prime})$ . Il existe un voisinage $P$ de $f_{\text{trop}}(V)$ dans $f_{\text{trop}}(V^{\prime})$ qui est un polyope. Alors, $W=f_{\text{trop}}^{-1}(V)$ est un domaine analytique de $V^{\prime}$ qui est un voisinage de $V$ . Compte tenu de la régularité extérieure de la mesure de Lebesgue sur un espace affine, la définition de $\int_{V^{\prime}}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}$ montre que cette intégrale est arbitrairement proche de $0$ . ∎

\propname 3.11.2.

Soit $X$ un bon espace $k$ -analytique topologiquement séparé et de dimension $n$ . Soit $\omega$ une $(n,n)$ -forme intégrable sur $X$ (resp. une $(n-1,n)$ -forme intégrable sur $\partial X$ ). Pour toute fonction lisse $u$ sur $X$ , on a

\left|{\int_{X}u\omega}\right|\leq\mathopen{\|}{u}\mathclose{\|}_{K}\int_{X}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|},\quad\text{\emph{resp.} }\left|{\int_{\partial X}f\omega}\right|\leq\mathopen{\|}{u}\mathclose{\|}_{K\cap\partial X}\int_{\partial X}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}.

(On note $\mathopen{\|}{u}\mathclose{\|}_{C}$ désigne la borne supérieure de $\mathopen{|}{u}\mathclose{|}$ sur une partie $C$ de $X$ .)

Démonstration.

Commençons par traiter le cas d’une forme de type $(n,n)$ . Soit $u$ une fonction lisse sur $X$ . Il résulte de la définition de l’intégrale $\int_{X}u\omega$ que l’on a

\left|{\int_{X}u\omega}\right|\leq\mathopen{\|}{u}\mathclose{\|}_{X}\int_{X}{\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}}.

Soit $\varepsilon>0$ . Il existe un voisinage compact $U$ de $K$ sur lequel $u$ est bornée par $\mathopen{\|}{u}\mathclose{\|}_{K}+\varepsilon$ ; soit alors $\lambda$ une fonction lisse sur $X$ , de support contenu dans $U$ , qui vaut $1$ au voisinage de $K$ et telle que $0\leq\lambda(x)\leq 1$ pour tout point de $U$ . Comme $\lambda\omega=\omega$ , on a alors

\left|{\int_{X}u\omega}\right|=\left|{\int_{X}\lambda u\omega}\right|\leq\mathopen{\|}{\lambda u}\mathclose{\|}_{X}\int_{X}{\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}}\leq(\mathopen{\|}{u}\mathclose{\|}_{K}+\varepsilon)\int_{X}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}.

La proposition en découle en faisant tendre $\varepsilon$ vers $0$ .

Le cas des formes de type $(n-1,n)$ est analogue se traite de même. Soit $\lambda$ une fonction lisse égale à $1$ au voisinage de $\partial X\cap K$ . La forme $\lambda\omega-\omega$ est nulle au voisinage de $\partial X$ ; d’après la proposition 3.10.7, son intégrale de bord est nulle. On a alors

\left|{\int_{\partial X}u\omega}\right|=\left|{\int_{\partial X}\lambda u\omega}\right|\leq\mathopen{\|}{\lambda u}\mathclose{\|}_{X}\int_{\partial X}{\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}}.

La proposition en résulte en considérons de telles fonctions $\lambda$ dont le support tend vers $\partial X\cap K$ . ∎

3.12 Formules de Stokes et de Green

\theoname 3.12.1.

Soit $X$ un bon espace $k$ -analytique de dimension $n$ . Soit $\omega$ une $(n-1,n)$ -forme sur $X$ . On suppose que $\omega$ est intégrable sur $\partial X$ et que $\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}\omega$ est intégrable sur $X$ . Alors,

\int_{\partial X}\omega=\int_{X}\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}\omega.

\theoname 3.12.2.

Soit $X$ un bon espace $k$ -analytique de dimension $n$ . Soit $p$ et $q$ des entiers tels que $p+q=n-1$ . Soit $\alpha$ une $(p,p)$ -forme sur $X$ , soit $\beta$ une $(q,q)$ -forme sur $X$ . Supposons que l’intersection des supports de $\alpha$ et $\beta$ est compact. Alors,

\int_{X}\alpha\wedge\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}\beta-\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}\alpha\wedge\beta=\int_{\partial X}\alpha\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}\beta-\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}\alpha\wedge\beta.

Démonstration.

À l’aide d’une partition de l’unité et en revenant à la définition des intégrales, ces formules se déduisent des formules analogues pour les polytopes calibrés. L’hypothèse que le support de $\omega$ est compact, ou que l’intersection des supports de $\alpha$ et $\beta$ l’est, rend toutes les familles d’intégrales presque nulles, de sorte que les questions de sommabilité deviennent triviales. ∎

	$\displaystyle\mu_{f}(C)$	$\displaystyle=d\|{\bf e}\|,$
	$\displaystyle\mu_{f\|_{W}}(\mathring{C})$	$\displaystyle=(d_{1}+d_{2}-d_{12})\|{\bf e}\|,$
	$\displaystyle\mu_{f\|_{W_{1}}}(C)$	$\displaystyle=d_{1}\|{\bf e}\|,$
	$\displaystyle\mu_{f\|_{W_{2}}}(C)$	$\displaystyle=d_{2}\|{\bf e}\|$
	et
	$\displaystyle\mu_{f\|_{W_{1}\cap W_{2}}}(C)$	$\displaystyle=d_{12}\|{\bf e}\|.$

§ 3 Formes différentielles réelles en géométrie ultramétrique [01NH]

§ 3 Formes différentielles réelles en géométrie ultramétrique

3.1 Formes de type (p,q)(p,q) sur un espace analytique

3.1.1

3.1.2

3.1.3

3.1.4

3.1.5

3.1.6

3.1.7

\lemmname 3.1.8.

Démonstration.

3.1.9

\lemmname 3.1.10.

Démonstration.

3.2 Support

3.2.1

\lemmname 3.2.2.

Démonstration.

\coroname 3.2.3.

Démonstration.

\coroname 3.2.4.

Démonstration.

\lemmname 3.2.5.

Démonstration.

\lemmname 3.2.6.

Démonstration.

\propname 3.2.7.

Démonstration.

\propname 3.2.8.

Démonstration.

\lemmname 3.2.9.

Démonstration.

3.3 Partitions de l’unité

\lemmname 3.3.1.

Démonstration.

\coroname 3.3.2.

Démonstration.

\coroname 3.3.3.

Démonstration.

\coroname 3.3.4.

Démonstration.

\propname 3.3.5 (Stone–Weierstraß).

Démonstration.

\propname 3.3.6 (Partitions de l’unité lisses).

Démonstration.

\coroname 3.3.7.

3.4 Existence de tropicalisations (presque) globales

\propname 3.4.1.

Démonstration.

3.4.2 Bref rappel sur les réductions graduées à la Temkin.

\lemmname 3.4.3.

Démonstration.

\propname 3.4.4.

Démonstration.

3.5 Calibrage canonique d’une tropicalisation

3.5.1

\lemmname 3.5.2.

Démonstration.

3.6 Condition d’harmonie

\theoname 3.6.1.

Démonstration.

3.7 Intégrales et intégrales de bord des formes tropicales

3.7.1

\propname 3.7.2.

\propname 3.7.3.

Démonstration.

\lemmname 3.7.4.

Démonstration.

\remaname 3.7.5.

3.8 Intégrales et intégrales de bord sur les domaines d’un bon espace kk-analytique

3.8.1

3.8.2

3.8.3

\lemmname 3.8.4.

Démonstration.

3.8.5 Compatibilité avec les définitions précédentes

3.9 Premières propriétés de l’intégrale

3.9.1

3.9.2

3.1 Formes de type $(p,q)$ sur un espace analytique

3.8 Intégrales et intégrales de bord sur les domaines d’un bon espace $k$ -analytique

3.10 Propriétés spécifiques aux intégrales de $(n,n)$ -formes