5.2 Formes positives sur un sous-espace linéaire par morceaux [01T6]

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5.2 Formes positives sur un sous-espace linéaire par morceaux

\definame 5.2.1.

Soit $V$ un espace affine de dimension finie sur $\mathbf{R}$ et soit $P$ un sous-espace linéaire par morceaux de $P$ . Soit $\omega$ une forme lisse de type $(p,p)$ sur $X$ . On dit que $\omega$ est positive (resp. faiblement positive, resp. fortement positive) s’il existe une décomposition polytopale de $P$ telle que pour toute cellule fermée maximale $Q$ de $P$ , la restriction de $\omega$ à $Q$ soit une forme positive (resp. faiblement positive, resp. fortement positive) en tant que forme de type $(p,p)$ définie sur un voisinage de $Q$ dans l’espace affine $\langle Q\rangle$ .

5.2.2

À l’aide de la proposition 5.1.4, on vérifie face par face que si $\omega_{1},\dots,\omega_{r}$ sont des formes lisses fortement positives, alors $\omega_{1}\wedge\dots\wedge\omega_{r}$ est fortement positive. De même, si elles sont faiblement positives et qu’au plus une d’entre elles n’est pas fortement positives, ce produit est une forme faiblement positive.

Si $P$ est un sous-espace linéaire par morceaux purement de dimension $n$ (au sens où toute face maximale de $P$ est de dimension $n$ ), les notions de formes positives et fortement positives coïncident en bidegrés $(0,0)$ , $(1,1)$ , $(n-1,n-1)$ et $(n,n)$ .

La restriction à un sous-espace linéaire par morceaux d’une forme positive (resp. faiblement, resp. fortement positive) l’est encore.

\lemmname 5.2.3.

Soit $V$ un espace affine de dimension finie sur $\mathbf{R}$ et soit $P$ un sous-espace linéaire par morceaux de $V$ . Pour toute forme lisse $\alpha$ de type $(p,p)$ sur $P$ , il existe des formes lisses fortement positives $\alpha_{1}$ et $\alpha_{2}$ telles que $\alpha=\alpha_{1}-\alpha_{2}$ .

Démonstration.

On peut supposer que $V=\mathbf{R}^{n}$ . Soit $\lambda$ la $(1,1)$ -forme $\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}\mathopen{\|}{x^{2}}\mathclose{\|}$ sur $\mathbf{R}^{n}$ . Comme $\lambda^{p}$ est fortement positive, elle appartient à l’intérieur du cône des formes de type $(p,p)$ strictement positives sur $\mathbf{R}^{n}$ ; il existe donc une fonction strictement positive $c$ sur $P$ telle que $\alpha+c\lambda^{p}$ soit une forme fortement positive.

Il suffit de poser $\alpha_{1}=\alpha+c\lambda^{p}$ et $\alpha_{2}=c\lambda^{p}$ . ∎