1.5.6 [01ML]

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1.5.6

Comme ils définissent aussi la même intégrale, nous identifierons implicitement, dans la suite, deux calibrages qui ont un raffinement commun.

Ainsi, un calibrage $\mu$ ne sera plus subordonné à une décomposition polytopale $\mathscr{C}$ donnée. Aussi écrirons-nous $\int_{P}\langle\omega,\partial\mu\rangle$ au lieu de $\int_{\partial_{\mathscr{C}}P}\langle\omega,\mu\rangle$ . Nous nous contenterons de voir ceci comme une convention d’écriture ; au vu de (1.5.4.1), on pourrait lui donner un sens plus précis en définissant le « bord » $\partial\mu$ de $\mu$ comme la donnée à raffinement près des différentes discordances.

\lemmname 1.5.7 (Formules de Stokes et Green).

Soit $V$ un espace affine, soit $P$ un sous-espace linéaire par morceaux de $V$ et soit $\mu$ un calibrage de $P$ . Soit $\omega$ une $(n-1,n)$ -forme lisse et à support compact sur $P$ . On a la formule de Stokes :

\int_{X}\langle\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}\omega,\mu\rangle=\int_{X}\langle\omega,\partial\mu\rangle.

(1.5.7.1)

Soit $\alpha$ et $\beta$ des $(p,p)$ et $(q,q)$ -formes lisses et symétriques sur $P$ , où $p+q=p-1$ . Si l’intersection de leurs supports est compact, on a la formule de Green :

\int_{X}\langle\alpha\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}\beta-\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}\alpha\wedge\beta,\mu\rangle=\int_{X}\langle\alpha\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}\beta-\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}\alpha\wedge\beta,\partial\mu\rangle.

(1.5.7.2)

Démonstration.

Ces formules résultent de celles démontrées ci-dessus pour des demi-espaces et de la définition des calibrages et des discordances.

En effet, supposons d’abord que $P$ soit un livre : sa tranche est un sous-espace affine $W$ de dimension $n-1$ de $V$ , ses pages des demi-espaces $V_{i}^{+}$ de bord $W$ dans des sous-esapces affines de dimension de $n$ de $V$ contenant $W$ . Fixons une orientation sur $W$ et munissons les espaces $V_{i}$ de l’orientation correspondant à la normale sortante. Le calibrage $\mu$ correspond alors à des $n$ -vecteurs $\tilde{\mu}_{i}$ de $\overrightarrow{V}_{i}$ , la discordance $\mu_{W}$ à leur somme. D’après la formule de Stokes (lemme 1.3.8), on a

\int_{X}\langle\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}\omega,\mu\rangle=\sum_{i}\int_{V_{i}^{+}}\langle\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}\omega,\mu_{i}\rangle=\sum_{i}\int_{W}\langle\omega,\mu_{i}\rangle=\int_{W}\langle\omega,\mu_{W}\rangle=\int_{X}\langle\omega,\partial\mu\rangle.

Cela démontre la formule de Stokes dans ce cas particulier.

Pour traiter le cas général, fixons une décomposition cellulaire $\mathscr{C}$ de $P$ .

La réunion $\partial^{2}\mathscr{C}$ des cellules de $\mathscr{C}$ de dimension au plus $n-2$ intersecte chaque cellule $C$ de dimension $\geq n-1$ de $\mathscr{C}$ selon un ensemble de mesure nulle dans l’espace affine $\langle C\rangle$ .

Il s’ensuit que le compact $\partial^{2}\mathscr{C}\cap\operatorname{supp}(\omega)$ possède un voisinage dont la trace sur chaque cellule $C$ de dimension $\geq n-1$ est de mesure arbitrairement petite dans $\langle C\rangle$ .

Pour tout point $x$ de $P\mathchoice{\mathbin{\vrule height=3.09999pt,width=6.93192pt,depth=-1.63612pt}}{\mathbin{\vrule height=3.09999pt,width=6.93192pt,depth=-1.63612pt}}{\mathbin{\vrule height=2.15277pt,width=3.65973pt,depth=-1.20554pt}}{\mathbin{\vrule height=0.86108pt,width=2.45418pt,depth=-1.03334pt}}\partial^{2}\mathscr{C}$ , il existe un voisinage $U_{x}$ de $x$ dans $V$ et un livre $L_{x}$ tel que $L_{x}\cap U_{x}=X\cap U_{x}$ . Comme on a prouvé la formule de Stokes pour les livres, un argument de partition de l’unité et de passage à la limite (pour traiter ce qui se passe au voisinage de $\partial^{2}\mathscr{C}\cap\operatorname{supp}(\omega)$ ) l’entraîne dans le cas général.

La formule de Green se prouve de la même façon. ∎