Soit $V$ un espace affine réel de dimension $n$. Soit $\omega$ une forme lisse de type $(p,p)$ sur un ouvert $U$ de $V$.

1. a)

   Si $p=n$, on dit que $\omega$ est positive si dans une base $(x_{1},\dots,x_{n})$ de $\overrightarrow{V}^{*}$, il existe une fonction lisse $f$ sur $U$, positive ou nulle en tout point, telle que $\omega=f\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}{x_{1}}\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}{x_{1}}\dots\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}{x_{n}}\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}{x_{n}}$. (Il existe alors une telle fonction pour toute base de $\overrightarrow{V}^{*}$.)

2. b)

   On dit que $\omega$ est faiblement positive si pour toute famille $(\alpha_{1},\dots,\alpha_{n-p})$ de formes de type $(1,0)$, la $(n,n)$-forme

   $$\omega\wedge\alpha_{1}\wedge\mathrm{J}(\alpha_{1})\wedge\dots\wedge\alpha_{n-p}\wedge\mathrm{J}(\alpha_{n-p})$$

   est positive sur $U$.

3. c)

   On dit que $\omega$ est positive si pour toute forme $\alpha$ de type $(n-p,0)$, la $(n,n)$-forme

   $$(-1)^{(n-p)(n-p-1)/2}\omega\wedge\alpha\wedge\mathrm{J}(\alpha)$$

   est positive sur $U$.

4. d)

   On dit que $\omega$ est fortement positive s’il existe des fonctions $f_{s}$, lisses et positives ou nulles sur $U$, et des formes $\alpha_{j,s}$ de type $(1,0)$ (pour $1\leq j\leq p$ et $s$ dans un ensemble fini) telles que

   $$\omega=\sum_{s}f_{s}\alpha_{1,s}\wedge\mathrm{J}(\alpha_{1,s})\wedge\dots\wedge\alpha_{p,s}\wedge\mathrm{J}(\alpha_{p,s}).$$