Conservons les notations et hypothèses précédentes. Soit $(\gamma_{\alpha,\beta})$ la réduction du cocycle $(g_{\alpha,\beta})$. Soit $e$ une section de $\bar{E}^{\circ}$ sur $(X,x)$. Elle consiste en la donnée d’une famille $(w_{\alpha})$, où $w_{\alpha}\in\mathscr{O}_{X_{\alpha},x}^{\circ}$ pour tout $\alpha$, et où $w_{\beta}=g_{\alpha,\beta}w_{\alpha}$ pour tout $(\alpha,\beta)$.

Par réduction, cette famille donne lieu à une famille $(v_{\alpha})$, où le vecteur $v_{\alpha}$ appartient à $\mathscr{O}_{\widetilde{(X,x)}}(\widetilde{X_{\alpha},x})$ pour tout $\alpha$ et où $v_{\beta}=v_{\alpha}\gamma_{\alpha,\beta}$ pour tout $(\alpha,\beta)$. Elle définit donc une section sur $\widetilde{(X,x)}$ du fibré résiduel ${\mathsf{E}}$ ; elle ne dépend que de $e$ et on la note $\tilde{e}(x)$ ou $\tilde{e}$ ; c’est la réduction de $e$ en $x$. Il résulte de la construction que si $e$ et $e^{\prime}$ sont deux sections de $\bar{E}^{\circ}$ sur $(X,x)$ alors $\tilde{e}=\tilde{e^{\prime}}$ si et seulement si $\mathopen{\|}{(e-e^{\prime})(x)}\mathclose{\|}<1$. Par conséquent, l’application $e\mapsto\tilde{e}$ induit une injection $\bar{E}^{\flat}(X,x)\hookrightarrow{\mathsf{E}}(\widetilde{X,x)})$.

En vertu de 6.5.5, C), cette injection est surjective, d’où un isomorphisme $\mathsf{E}^{\flat}(X,x)\simeq{\mathsf{E}}(\widetilde{X,x})$.