Rappelons que toute fonction analytique inversible sur $\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n}$ est algébrique et, plus précisément, est même un monôme, c’est-à-dire de la forme $aT_{1}^{m_{1}}\dots T_{n}^{m_{n}}$, où $a\in k^{*}$ et $(m_{1},\dots,m_{n})\in\mathbf{Z}^{n}$ est un vecteur appelé exposant. (En dimension 1, cet énoncé est le lemme 9.7.1/1 de [14], le cas général en découle par récurrence.)

Le morphisme $\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n}\to\mathbf{G}_{\mathrm{m}}$ induit par une telle fonction est un homomorphisme de groupes analytiques si et seulement si $a=1$.

Soit $T$ un tore. L’ensemble $\mathsf{X}(T)$ des caractères de $T$, c’est-à-dire des morphismes de groupes analytiques de $T$ vers $\mathbf{G}_{\mathrm{m}}$, est un groupe abélien.

On déduit de ce qui précède que tout isomorphisme de $T$ avec $\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n}$ induit un isomorphisme de $\mathsf{X}(T)$ avec $\mathbf{Z}^{n}$  ; on en déduit aussi que si $T$ et $T^{\prime}$ sont deux tores, tout morphisme d’espace $k$-analytique de $T$ vers $T^{\prime}$ est affine, i.e. composé d’un morphisme de groupes analytiques et d’une translation  ; c’est donc un morphisme de groupes si et seulement si il envoie l’origine de $T$ sur l’origine de $T^{\prime}$. Pour cette raison, lorsque nous évoquerons un morphisme entre tores qui n’est pas nécessairement un morphisme de groupes, nous le qualifierons de morphisme affine.