5.4.8 [01TS]

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5.4.8

En prenant pour courant $T$ celui associé à la fonction lisse $1$ , c’est-à-dire le courant d’intégration sur $X$ , on prolonge donc l’injection de $\mathscr{A}^{0}_{X}$ dans $\mathscr{D}^{0}_{X}$ en une application linéaire de $\mathscr{C}_{X}$ dans $\mathscr{D}^{0}_{X}$ . On notera $[u]$ le courant associé à une fonction continue sur $X$ .

\propname 5.4.9.

Soit $u$ une fonction continue sur $X$ . Si le courant $[u]$ est nul, alors $u$ est identiquement nulle sur $\operatorname{Int}(X)$ . En particulier, si $\partial(X)$ est d’intérieur vide dans $X$ , l’application linéaire $u\mapsto[u]$ de $\mathscr{C}_{X}$ dans $\mathscr{D}^{0}_{X}$ est injective.

Démonstration.

Supposons $[u]=0$ et démontrons que $u$ est nulle sur $\operatorname{Int}(X)$ . Raisonnons par l’absurde et soit $x$ un point intérieur de $X$ tel que $u(x)\neq 0$ . Il existe alors une fonction continue $v$ sur $X$ telle que $uv$ soit identiquement égale à $1$ dans un voisinage $U$ de $X$ . (Considérer un voisinage $V$ de $x$ sur lequel $u$ ne s’annule pas, puis un voisinage $U$ de $x$ contenu dans $V$ sur l’adhérence duquel $\mathopen{|}{u}\mathclose{|}$ admet une borne inférieure strictement positive. Soit $\lambda$ une fonction lisse qui vaut $1$ sur $U$ et dont le support est contenu dans $V$ . La fonction $\lambda/u$ sur $V$ se prolonge par $0$ en une fonction continue $v$ sur $X$ et l’on a $uv=1$ en tout point de $U$ .) La définition du courant $[u]$ entraîne que le courant $[vu]$ est identiquement nul. Par suite, la restriction à $U$ du courant d’intégration est nul, ce qui est absurde. ∎