Étant donné un fibré en droites $L$ sur $X$, on définit alors naturellement la notion de métrique lisse sur $L$. Grâce à la formule de Poincaré-Lelong, un tel fibré métrisé $\bar{L}$ possède une forme de courbure $c_{1}(\bar{L})$, définie de façon analogue à la forme de courbure d’un fibré en droites hermitien sur une variété complexe.

Si $X$ est l’analytifié d’une variété algébrique propre de dimension $n$, on démontre alors à l’aide de la formule de Stokes que l’intégrale sur $X$ de la $(n,n)$-forme lisse $c_{1}(\bar{L})^{n}$ est égal au degré d’intersection $\deg(c_{1}(L)^{n}\cap[X])$.

D’autre part, un modèle formel $(\mathfrak{X},\mathfrak{L})$ de $(X,L)$ sur $k^{\circ}$ fournit naturellement une métrique continue (qualifiée de formelle) sur $L$. Pour une telle métrique, la norme d’une section locale de $L$ est égale au maximum d’une famille finie de valeurs absolues de certaines fonctions holomorphes inversibles. Ainsi, et contrairement à l’intuition véhiculée par les articles précédents, une métrique formelle n’est pas lisse en général.

Cela fournit un point de contact entre la théorie du présent article et le mémoire [46] sur la théorie d’Arakelov des variétés toriques. Ce dernier travail étudie en détail les métriques hermitiennes naturelles sur les fibrés en droites hermitiens sur une variété torique complexe — définies précisément par des maximum de valeurs absolues de fonctions holomorphes. Un tel fibré en droite hermitien possède une courbure, laquelle n’est plus une forme différentielle mais un courant. Un outil crucial de [46] est fourni par la théorie de [5, 25] qui permet de les multiplier. (Rappelons que les courants ne sont en général pas plus multipliables que ne le sont les distributions.) Le fait essentiel est que la fonction $\max(x_{1},\dots,x_{r})$ sur $\mathbf{R}^{r}$ est limite uniforme de fonctions convexes lisses.