Soit $X^{\prime}$ le compactifié d’Alexandroff de $X$ ; comme $X$ est localement compact, c’est un espace topologique compact. Soit $\mathscr{S}$ l’ensemble des fonctions réelles sur $X^{\prime}$ qui sont la somme d’une fonction constante et d’une fonction lisse à support compact sur $X$ (prolongée par $0$ au point à l’infini). C’est une sous-algèbre unitaire de l’algèbre des fonctions continues sur $X^{\prime}$ ; elle sépare les points en vertu du corollaire 3.3.3. Prolongée par $0$ au point à l’infini, la fonction $f$ définit une fonction continue $f^{\prime}$ sur $X^{\prime}$. D’après le théorème de Stone-Weierstraß, il existe un nombre réel $c$ et une fonction lisse à support compact sur $X$, disons $g$, tels que $\mathopen{|}{f^{\prime}-g-c}\mathclose{|}<\varepsilon/2$. En considérant cette inégalité au point à l’infini, on a $\mathopen{|}{c}\mathclose{|}<\varepsilon/2$, si bien que $\mathopen{|}{f-g}\mathclose{|}<\varepsilon$ en tout point.

Soit $h\colon X\rightarrow[0,1]$ une fonction lisse sur $X$ dont le support est compact et contenu dans $U$ et qui vaut $1$ au voisinage du support de $f$. La fonction $hg$ est lisse sur $X$, son support est compact et contenu dans $U$. Pour $x$ en dehors du support de $f$, on a $\mathopen{|}{f(x)-h(x)g(x)}\mathclose{|}=\mathopen{|}{h(x)g(x)}\mathclose{|}\leq\mathopen{|}{g(x)}\mathclose{|}=\mathopen{|}{f(x)-g(x)}\mathclose{|}<\varepsilon$. Si $x$ appartient au support de $f$, on a $\mathopen{|}{f(x)-h(x)g(x)}\mathclose{|}=\mathopen{|}{f(x)-g(x)}\mathclose{|}<\varepsilon$. La fonction $hg$ convient. ∎