On appelle courant de bidimension $(p,q)$ sur $X$ une forme linéaire continue sur l’espace $\mathscr{A}_{\text{c}}^{p,q}(X)$ des formes lisses de type $(p,q)$ à support propre. On notera $\langle S,\alpha\rangle$ l’image de la forme $\alpha$ par le courant $S$.

On note $\mathscr{D}_{p,q}(X)$ l’ensemble des courants de bidimension $(p,q)$. Si $X$ est équidimensionnel de dimension $n$, on posera aussi $\mathscr{D}^{p,q}=\mathscr{D}_{n-p,n-q}$ et on dira que c’est l’espace des courants de bidegré $(p,q)$.

Ce sont des modules sur l’anneau des fonctions lisses sur $X$. Plus précisément, l’espace vectoriel bigradué $\mathscr{D}(X)$, somme directe des espaces $\mathscr{D}_{p,q}(X)$, est un module gradué (à gauche) sur l’espace vectoriel $\mathscr{A}(X)$ des formes lisses sur $X$. Si $\alpha\in\mathscr{A}^{p,q}_{\text{c}}(X)$ et $T$ est de bidimension $(p^{\prime},q^{\prime})$, le courant $\alpha T$ est de bidimension $(p^{\prime}-p,q^{\prime}-q)$ ; si $T$ est de bidegré $(p^{\prime},q^{\prime})$, $\alpha T$ est de bidegré $(p^{\prime}+p,q^{\prime}+q)$.