La première propriété résulte de ce qu’un maximum de fonctions convexes est convexe. La fonction $f_{a}$ est lisse sur $\mathbf{R}^{n}$ ; pour démontrer qu’elle est convexe, il suffit de démontrer que sa hessienne est positive. On a en effet

$$\frac{\partial^{2}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}f_{a}=\frac{\partial}{\partial x_{i}}\frac{a_{j}\exp(x_{j})}{\sum a_{k}\exp(x_{k})}=\frac{a_{i}\exp(x_{i})}{\sum a_{k}\exp(x_{k})}\delta_{ij}-\frac{a_{i}a_{j}\exp(x_{i})\exp(x_{j})}{(\sum a_{k}\exp(x_{k}))^{2}}.$$

Par suite, pour tout $y\in\mathbf{R}^{n}$, on a

$$D^{2}f_{a}(y,y)=\sum_{i=1}^{n}\frac{a_{i}y_{i}^{2}\exp(x_{i})}{\sum a_{k}\exp(x_{k})}-\frac{a_{i}y_{i}a_{j}y_{j}\exp(x_{i})\exp(x_{j})}{(\sum a_{k}\exp(x_{k}))^{2}}.$$

Posons $u_{i}=a_{i}\exp(x_{i})$. Comme la fonction $y\mapsto y^{2}$ est convexe, on a

$$(\sum u_{i}y_{i}^{2})(\sum u_{i})\geq(\sum u_{i}y_{i})^{2},$$

si bien que $D^{2}f_{a}(y,y)\geq 0$.

Soit $x\in\mathbf{R}^{n}$. Pour tout $i\in\{1,\dots,n\}$, on a

$$f_{a}(x)\geq\log(a_{i}\exp(x_{i}))=\log(a_{i})+x_{i},$$

si bien que

	$\displaystyle f_{a}(x)$	$\displaystyle\geq\min(\log(a_{1}),\dots,\log(a_{n}))+\max(x_{1},\dots,x_{n})$
		$\displaystyle=\min(\log(a_{1}),\dots,\log(a_{n}))+f(x),$

tandis que

$$f_{a}(x)\leq\log\big(\sum_{i=1}^{n}a_{i}\exp(\max(x_{1},\dots,x_{n}))\big)\leq\log\big(\sum_{i=1}^{n}a_{i}\big)+f(x).$$

Par conséquent, si $\varepsilon>0$, on a

$$\varepsilon\min(\log(a_{1}),\dots,\log(a_{n}))+f(x)\leq\varepsilon f_{a}(x/\varepsilon)\leq\varepsilon\log\big(\sum_{i=1}^{n}a_{i}\big)+f(x),$$

ce qui entraîne que $\varepsilon f_{a}(x/\varepsilon)$ converge uniformément vers $f(x)$ lorsque $\varepsilon$ tend vers $0$ par valeurs supérieures. ∎