ScalingStacks

4.4.4 [01S5]

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4.4.4

Soit φ:Y/L→X/k\varphi\colon Y/L\rightarrow X/k un morphisme d’espaces analytiques qui est topologiquement propre et sans bord. Les opérateurs J\mathrm{J}, d′\mathop{\mathrm{d^{\prime}}} et d′′\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}} sur les courants commutent à l’application φ∗\varphi_{*} d’image directe.

\propname 4.4.5.

Soit φ:Y/L→X/k\varphi\colon Y/L\rightarrow X/k un morphisme d’espaces analytiques qui est topologiquement propre. Supposons que Y/LY/L soit purement de dimension dd. On a défini des courants φ∗​δY∈𝒟d,d​(X)\varphi_{*}\delta_{Y}\in\mathscr{D}_{d,d}(X) et φ∗​δY∈𝒟d−1,d​(X)\varphi_{*}\delta_{Y}\in\mathscr{D}_{d-1,d}(X). On a la relation

d′⁡(φ∗​δY)=−φ∗​δ∂Ydans 𝒟d−1,d​(X).\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}(\varphi_{*}\delta_{Y})=-\varphi_{*}\delta_{\partial Y}\qquad\text{dans $\mathscr{D}_{d-1,d}(X)$.} (4.4.5.1)
Démonstration.

Soit en effet une forme α∈𝒜cd−1,d​(X)\alpha\in\mathscr{A}^{d-1,d}_{\text{c}}(X). Par définition, on a

⟨d′⁡(φ∗​δY),α⟩=⟨φ∗​δY,d′⁡α⟩=∫Yφ∗​(d′⁡α)=∫Yd′⁡(φ∗​α).\langle\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}(\varphi_{*}\delta_{Y}),\alpha\rangle=\langle\varphi_{*}\delta_{Y},\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}\alpha\rangle=\int_{Y}\varphi^{*}(\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}\alpha)=\int_{Y}\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}(\varphi^{*}\alpha).

Appliquant la formule de Stokes (théorème 3.12.1), on a donc

⟨d′(φ∗δY),α⟩=−∫∂Yφ∗α=−⟨φ∗δ∂Y,α⟩.\langle\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}(\varphi_{*}\delta_{Y}),\alpha\rangle=-\int_{\partial Y}\varphi^{*}\alpha=-\langle\varphi_{*}\delta_{\partial Y},\alpha\rangle.

Cela démontre la relation indiquée. ∎

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