Soit $\mathscr{D}$ une décomposition cellulaire de $P$ raffinant $\mathscr{C}$, et soit $\nu$ le raffinement correspondant de $\mu$. Soit $\omega$ une$(n-1,n)$-forme intégrable sur $P$. On a alors $\int_{\partial_{\mathscr{D}}P}\langle\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|},\mathopen{|}{\partial\nu}\mathclose{|}\rangle=\int_{\partial_{\mathscr{C}}P}\langle\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|},\mathopen{|}{\partial\mu}\mathclose{|}\rangle$, et $\int_{\partial_{\mathscr{D}}P}\langle\omega,\partial\nu\rangle=\int_{\partial_{\mathscr{C}}P}\langle\omega,\partial\mu\rangle$ dans le cas intégrable.

En effet, soit $F$ une cellule appartenant à $\mathscr{D}_{n-1}$ qui n’est pas contenue dans une cellule appartenant à $\mathscr{C}_{n-1}$. Elle est alors contenue dans exactement deux $n$-cellules cellules $D$ et $D^{\prime}$ de $\mathscr{D}$, elles-mêmes contenues dans une même $n$-cellule $C$ de $\mathscr{C}$. Si $(o,v)$ désigne un représentant de $\mu_{C}$ alors comme $D$ et $D^{\prime}$ induisent deux orientations opposées sur $F$, la discordance $\nu_{F}$ est de la forme $(o^{\prime},v-v)=(o^{\prime},0)$, et $F$ est harmonieuse.

Seules interviennent donc effectivement dans le calcul des intégrales le long de $\partial_{\mathscr{D}}P$ les $(n-1)$-cellules de $\mathscr{D}$ contenues dans une $(n-1)$-cellule de $\mathscr{C}$, d’où l’assertion, compte-tenu du fait (qui résulte immédiatement des définitions) que sur une telle cellule, la discordance de la restriction coïncide avec la restriction de la discordance.