Soit $h$ la fonction $(x_{1},\dots,x_{m})\mapsto\max(x_{1},\dots,x_{m})$ sur $\mathbf{R}^{m}$ ; pour tout $\varepsilon>0$, soit $h_{\varepsilon}$ la fonction donnée par $(x_{1},\dots,x_{m})\mapsto\varepsilon\log(\sum_{i=1}^{m}\exp(x_{i}/\varepsilon))$. D’après le lemme 5.7.2, $h_{\varepsilon}$ est convexe et l’on a $u=f^{*}h=\lim_{\varepsilon\rightarrow 0^{+}}f^{*}h_{\varepsilon}$ (uniformément), d’où la première assertion.

Avec les notations de la troisième assertion, on a $u=\log\max(\mathopen{|}{a_{1}}\mathclose{|}^{-1},\dots,\mathopen{|}{a_{p}}\mathclose{|}^{-1})$ au voisinage de $x$. On peut donc supposer que $p=m$. Soit $P$ le polytope $f_{\text{trop}}(X)$ muni de son calibrage canonique $\mu_{f}$ ; posons $\xi=f_{\text{trop}}(x)$. On place l’origine de l’espace affine $\mathbf{G}_{\mathrm{m},{\text{trop}}}^{p}$ au point $\xi$ ; observons en effet que pour tout $\eta\in\mathbf{R}^{m}$,

$$h_{\varepsilon}(\eta)=\xi+\varepsilon h_{1}((\eta-\xi)/\varepsilon).$$

Soit $\theta$ une fonction $\mathscr{C}^{\infty}$ sur $\mathbf{R}^{m}$ et soit $v$ la fonction lisse $f^{*}\theta$ sur $X$. On a donc

$$\int_{X}v\operatorname{MA}(u)=\lim_{\varepsilon\rightarrow 0^{+}}\int_{P}\langle\theta\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}(u_{\varepsilon})^{n},\mu_{f}\rangle.$$

Soit $(\mathscr{P})$ une décomposition cellulaire de $P$ adaptée à $\mu_{f}$. On a donc

	$\displaystyle\int_{P}\langle\theta\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}(h_{\varepsilon})^{n},\mu_{f}\rangle$	$\displaystyle=\sum_{C\in\mathscr{P}_{n}}\int_{C}\theta(s)\langle(\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}h_{\varepsilon}(s))^{n},\mu_{f}(C)\rangle$
		$\displaystyle=\sum_{C\in\mathscr{P}_{n}}\int_{(C-\xi)/\varepsilon}\theta(\xi+\varepsilon s)\langle(\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}h_{1})^{n},\mu_{f}(C)\rangle.$

Si $\xi$ est un sommet de $C$, le même argument que celui effectué dans la preuve du lemme 5.7.5 prouve que le terme correspondant à $C$ converge vers $\theta(\xi)\lambda_{C}$ lorsque $\varepsilon\rightarrow 0^{+}$, où

$$\lambda_{C}=\int_{\xi+\mathbf{R}_{+}(C-\xi)}\langle(\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}h_{1})^{n},\mu_{f}(C)\rangle.$$

En revanche, si $\xi\not\in C$, cette quantité converge vers $0$. Par suite, $\int_{P}\langle\theta(\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}h)^{n},\mu\rangle=\theta(\xi)\lambda_{P}$, où

$$\lambda_{P}=\sum_{\begin{subarray}{c}C\in\mathscr{P}_{n}\\ \xi\in C\end{subarray}}\int_{\xi+\mathbf{R}_{+}(C-\xi)}\langle(\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}h_{1})^{n},\mu_{f}(C)\rangle.$$

On a ainsi $\int_{X}v\operatorname{MA}(u)=\lambda_{P}v(x)$ pour toute fonction lisse tropicalisée par $f$. Ce calcul montre aussi que $\lambda_{P}$ ne dépend que des faces calibrées de dimension $n$ de $f_{\text{trop}}(X)$ contenant le point $\xi$. En particulier, $\lambda_{P}=0$ si $P$ n’a pas de face de dimension $n$ qui contienne $\xi$, c’est-à-dire si la dimension tropicale de $f$ en $x$ est $<n$.

Soit $v$ une fonction lisse arbitraire sur $X$ ; soit $Y$ un voisinage de $x$ qui est un dommaine analytique compact sur lequel $v$ est tropicale. Alors, il existe un moment $f^{\prime}\colon Y\rightarrow T^{\prime}$ et un morphisme affine de tores $p\colon T^{\prime}\rightarrow T$ tel que $f=p\circ f^{\prime}$, une fonction $\mathscr{C}^{\infty}$ $\theta$ sur $P^{\prime}=(f^{\prime})_{\text{trop}}(Y)$. Le même calcul montre qu’il existe un nombre réel $\lambda_{P^{\prime}}$ tel que $\int_{X}v\operatorname{MA}(u)=\lambda_{P^{\prime}}v(x)$ dès que $v$ est tropicalisée par $f^{\prime}$. Nécessairement, $\lambda_{P}=\lambda_{P^{\prime}}$.

Autrement dit, $\int_{X}v\operatorname{MA}(u)=\lambda_{P}v(x)$ pour toute fonction lisse $v$, soit encore $\operatorname{MA}(u)=\lambda_{P}\delta_{x}$. ∎