Les faisceaux $\mathscr{A}_{V}^{p,q}$ sont munis de deux opérateurs différentiels, $\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}$ et $\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}$, définis ainsi en coordonnées. Pour $\omega$ comme ci-dessus,

Ainsi, $\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}\omega$ est de type $(p+1,q)$, tandis que $\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}\omega$ est de type $(p,q+1)$. Notons que pour $i\in\{1,\dots,n\}$, les symboles $\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x_{i}$ et $\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}x_{i}$ sont bien les images par $\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}$ et $\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}$ de la fonction affine $x_{i}$ sur $V$. Remarquons aussi que la différentielle $\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}$ n’est autre que l’opérateur induit par la connexion naturelle dans le fibré vectoriel trivial de fibre $\Lambda^{q}\overrightarrow{V}^{*}$.

Ces opérateurs s’étendent de façon évidente aux formes à coefficients dans une classe admissible de fonctions, pourvu que cette classe ait une régularité suffisante. Par exemple, si $\omega$ est une forme de type $(p,q)$ à coefficients de classe $\mathscr{C}^{r}$, $\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}\omega$ et $\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}\omega$ sont des formes de types $(p+1,q)$ et $(p,q+1)$ à coefficients de classe $\mathscr{C}^{r-1}$.