Nous nous sommes efforcés de rédiger le texte dans la généralité maximale compatible avec nos compétences techniques. Ainsi, on ne se limite pas aux espaces analytiques algébriques, on ne les suppose pas lisses, ni même réduits. En fait, notre théorie est très « générique » ; par exemple, les supports des formes lisses de degré maximal ne rencontrent aucun fermé de Zariski d’intérieur vide, en particulier aucun point rigide (en dimension $>0$). Ainsi, des hypothèses de lissité, etc. n’interviendraient jamais de façon cruciale au cours des preuves.

La théorie est valable en toute caractéristique. Elle n’utilise à aucun moment la résolution des singularités (Hironaka, Temkin) ou même l’existence d’altérations (De Jong), notamment grâce à l’article [32] du second auteur qui prouve, via l’élimination des quantificateurs, le caractère linéaire par morceaux des tropicalisations. Il est aussi valable en valuation triviale.

Nous utilisons cependant des arguments de réduction, proches de ceux permis par la géométrie formelle, mais de nature plus locale et techniquement plus aisés, fournis par la théorie de Temkin [52, 53].

Bien que la rédaction du présent texte soit assez complète, nous le compléterons dans les prochains mois en rajoutant détails et exemples, parmi lesquels :

• —

  le calcul du courant $\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}\log\max(1,\mathopen{|}{f}\mathclose{|})$, l’analogue de la formule de Levine  ;

• —

  le calcul des mesures canoniques sur les variétés abéliennes, à partir de leur uniformisation  ;

• —

  lorsque $\bar{L}$ est un fibré en droites muni d’une métrique formelle, le calcul des puissances $c_{1}(\bar{L})^{i}$ et leur support (pour l’instant, seul figure ici le calcul de la puissance maximale)  ;

• —

  l’étude de la positivité et du support des polynômes en classes de Chern de fibrés en droites métrisés, le lien avec la posivité des fibrés résiduels en théorie de l’intersection pour l’équivalence numérique, leur détection via des germes de sous-variétés analytiques de dimension adéquate sur des extensions valuées complètes convenables ;

Nous comptons aussi discuter l’existence de métriques positives sur les fibrés amples, dont la mesure associée contienne des ensembles finis prescrits (essentiellement) arbitraires et prouver la continuité de l’intégrale de fonctions de Green contre les mesures canoniques, analogue de la « formule de Mahler », dans l’esprit de [46, 24]. Ce dernier point conduira naturellement à une théorie analytique des hauteurs de cycles en géométrie diophantienne.

Ce travail appelle un certain nombre de prolongements. Nous voudrions en citer brièvement quelques uns ici.

• —

  Développer une théorie plus complète des fonctions plurisousharmoniques, dans laquelle s’intégrerait les résultats récents de [19, 20].

• —

  Qu’est-ce qu’une forme de Kähler dans notre contexte  ? Y a-t-il un analogue du théorème de plongement de Kodaira  ?

• —

  Peut-on formuler et démontrer un analogue du théorème de Yau  ? Comme dans [57, 20], il semble que la partie unicité (théorème de Calabi) soit vraie, par la méthode de Błocki [12].

• —

  Développer une théorie sur $\mathbf{Z}$ dans le style de [49] ; comme notre théorie est d’essence ultramétrique, il faudra sans doute des arguments nouveaux pour traiter les places archimédiennes.

• —

  Ce formalisme peut-il être utilisé avec profit pour calculer des hauteurs de cycles spéciaux dans les variétés de Shimura, dans l’esprit des travaux de Gross-Zagier, Kudla, Rapoport… ;

• —

  Y a-t-il des théorèmes d’équidistribution en dynamique ultramétrique, parallèles à ceux de Briend-Duval, Guedj, Dinh-Sibony  ?

• —

  Développer une théorie d’Arakelov non archimédienne et, pour commencer, démontrer que tout cycle possède un courant de Green.

• —

  Quelle est la cohomologie de l’espace des formes et des courants ? Y a-t-il des liens avec les groupes d’homologie tropicaux des variétés tropicales (I. Itenberg, L. Katzarkov, G. Mikhalkin et I. Zharkov).