Dans le cas d’un fibré en droites hermitien $\bar{L}$ sur une variété complexe $X$ $c_{1}(\bar{L})$ est une forme différentielle de type $(1,1)$ et sa puissance $c_{1}(\bar{L})^{n}$ est une forme de type $(n,n)$, laquelle donne lieu à une mesure si $X$ est de dimension $n$. La théorie des mesures de [22] avait ceci d’insatisfaisant qu’elle définissait une mesure $c_{1}(\bar{L})^{n}$ tout en s’avérant incapable de donner un sens à l’objet $c_{1}(\bar{L})$, lorsque $\bar{L}$ est un fibré métrisé sur une variété algébrique propre de dimension $n$ sur un corps valué complet.

Combler cette frustration est la raison d’être du présent travail.

Au passage, nous étendons la théorie en traitant des variétés analytiques ni nécessairement algébriques, ni nécessairement compactes. Le caractère local des mesures $c_{1}(\bar{L})^{n}$ (établi dans [23]) apparaîtra ainsi bien plus naturellement.

Soit donc $k$ un corps valué complet, non archimédien. Soit $X$ un espace $k$-analytique au sens de Berkovich [7, 8].

Nous appelons fonction lisse sur $X$ une fonction sur $X$ à valeurs réelles qui s’écrit localement $\varphi(\log\mathopen{|}{f_{1}}\mathclose{|},\dots,\log\mathopen{|}{f_{r}}\mathclose{|})$, où $f_{1},\dots,f_{r}\in\mathscr{O}_{X}^{\times}$ sont des fonctions holomorphes inversibles sur $X$ et $\varphi$ est une fonction $\mathscr{C}^{\infty}$ sur $\mathbf{R}^{r}$ à valeurs réelles. Les fonctions lisses forment un sous-faisceau $\mathscr{A}_{X}$ du faisceau des fonctions continues sur $X$ à valeurs réelles. Si $X$ est bon et paracompact, par exemple si $X$ est l’analytifié d’une variété algébrique, ce faisceau est fin.

Plus généralement, si $p$ et $q$ sont deux entiers naturels, nous définissons une notion de forme différentielle lisse de type $(p,q)$ sur $X$, qui redonne la notion de fonction lisse pour $(p,q)=(0,0)$. Ce sont naturellement les sections de faisceaux $\mathscr{A}_{X}^{p,q}$ qui sont nuls si $p>\dim(X)$ ou $q>\dim(X)$. La somme directe de ces faisceaux est une algèbre bigraduée commutative ; elle est munie d’opérateurs différentiels $\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}$ et $\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}$ de degrés $(1,0)$ et $(0,1)$ et de carrés nuls.

Si $\dim(X)=n$, on peut intégrer les formes de type $(n,n)$, pourvu bien entendu qu’elles soient intégrables, ce qui est par exemple le cas si leur support est compact. Si $X$ est l’analytifié d’une variété propre, l’intégrale d’une forme sur $X$ de la forme $\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}\omega$ est nulle.

Plus généralement, Berkovich a introduit la notion de bord $\partial(X)$ de l’espace analytique $X$ et nous définissons aussi l’intégrale d’une forme de type $(n-1,n)$ sur ce bord. Ces définitions donnent lieu à l’analogue de la formule de Stokes :

$$\int_{X}\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}\omega=\int_{\partial(X)}\omega,$$

si $\omega$ est une forme à support compact de type $(n-1,n)$ sur $X$.

Nous introduisons alors la notion de courant. Comme chez Schwartz et De Rham, ceux-ci sont définis comme les formes linéaires sur l’espace des formes différentielles lisses à support compact (et, techniquement, qui évitent le bord) qui vérifient une condition de continuité convenable. Par l’intégration des formes différentielles de type $(n,n)$ et le produit extérieur, les formes s’identifient à des courants. L’intégration sur $X$, sur un sous-espace de $X$, une mesure sur $\operatorname{Int}(X)$, donnent aussi lieu à des courants.

Si $f$ est une fonction méromorphe régulière sur $X$ (c’est-à-dire définie sur un ouvert de Zariski dense), la fonction $\log\mathopen{|}{f}\mathclose{|}$ définit un courant. Notons $\operatorname{div}(f)$ le diviseur de $f$ (un cycle de codimension $1$ sur $X$) et $\delta_{\operatorname{div}(f)}$ le courant sur $X$ qui se déduit par linéarité des divers courants d’intégration sur les composantes de $\operatorname{div}(f)$. Nous prouvons alors l’analogue de la formule de Poincaré-Lelong.

$$\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}\log\mathopen{|}{f}\mathclose{|}=\delta_{\operatorname{div}(f)}.$$

Étant donné un fibré en droites $L$ sur $X$, on définit alors naturellement la notion de métrique lisse sur $L$. Grâce à la formule de Poincaré-Lelong, un tel fibré métrisé $\bar{L}$ possède une forme de courbure $c_{1}(\bar{L})$, définie de façon analogue à la forme de courbure d’un fibré en droites hermitien sur une variété complexe.

Si $X$ est l’analytifié d’une variété algébrique propre de dimension $n$, on démontre alors à l’aide de la formule de Stokes que l’intégrale sur $X$ de la $(n,n)$-forme lisse $c_{1}(\bar{L})^{n}$ est égal au degré d’intersection $\deg(c_{1}(L)^{n}\cap[X])$.

D’autre part, un modèle formel $(\mathfrak{X},\mathfrak{L})$ de $(X,L)$ sur $k^{\circ}$ fournit naturellement une métrique continue (qualifiée de formelle) sur $L$. Pour une telle métrique, la norme d’une section locale de $L$ est égale au maximum d’une famille finie de valeurs absolues de certaines fonctions holomorphes inversibles. Ainsi, et contrairement à l’intuition véhiculée par les articles précédents, une métrique formelle n’est pas lisse en général.

Cela fournit un point de contact entre la théorie du présent article et le mémoire [46] sur la théorie d’Arakelov des variétés toriques. Ce dernier travail étudie en détail les métriques hermitiennes naturelles sur les fibrés en droites hermitiens sur une variété torique complexe — définies précisément par des maximum de valeurs absolues de fonctions holomorphes. Un tel fibré en droite hermitien possède une courbure, laquelle n’est plus une forme différentielle mais un courant. Un outil crucial de [46] est fourni par la théorie de [5, 25] qui permet de les multiplier. (Rappelons que les courants ne sont en général pas plus multipliables que ne le sont les distributions.) Le fait essentiel est que la fonction $\max(x_{1},\dots,x_{r})$ sur $\mathbf{R}^{r}$ est limite uniforme de fonctions convexes lisses.

Nous définissons ainsi des notions de formes et courants positifs. Cela nous amène à développer les rudiments de la théorie des fonctions plurisousharmoniques — une fonction lisse $u$ est dite plurisousharmonique si $\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u$ est un courant positif. En fait, les seules fonctions plurisousharmoniques que nous considérerons dans cet article sont des limites uniformes de fonctions lisses plurisousharmoniques. En copiant les arguments de [5, 25], nous pouvons définir des produits de courants $T\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u_{1}\wedge\dots\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u_{r}$, où $T$ est un courant positif et $u_{1},\dots,u_{r}$ des fonctions plurisousharmoniques comme ci-dessus.

Grâce à cette théorie, on peut multiplier les courants de courbure des fibrés en droites munis de métriques formelles. Nous prouvons alors que la théorie développée ici redonne les mesures définies dans [22]. La théorie construite dans ce dernier article partait du cas des métriques formelles, alors considérées comme métriques « lisses ». La théorie de l’intersection sur la fibre spéciale du modèle formel fournissait des mesures atomiques sur $X$  ; un argument d’approximation permettait de construire des mesures pour des fibrés en droites munis de métriques plus générales. Dans le présent article, le point de vue est renversé : les métriques formelles ne sont pas lisses, mais limites uniformes de métriques lisses convenables, et les mesures associées ne sont définies que via un passage à la limite.