2.2.5 Squelette d’un tore [01N4]

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2.2.5 Squelette d’un tore

Soit $T$ un tore et soit $f\colon\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n}\to T$ un isomorphisme. En vertu de ce qui précède, le fermé $f(S(\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n}))$ de $T$ ne dépend pas de $f$ .

On l’appelle le squelette de $T$ et on le note $S(T)$ . L’application naturelle $T\to T_{\text{trop}}$ induct un homéomorphisme $S(T)\simeq T_{\text{trop}}$ . Si $P$ est un sous-ensemble de $T_{\text{trop}}$ , on notera $P_{\mathrm{sq}}$ le sous-ensemble de $S(T)$ qui lui correspond via cet homéomorphisme.

\definame 2.2.6.

Soit $X$ un espace $k$ -analytique ; on appelle moment sur $X$ un morphisme de $X$ vers un tore.

Soit $f\colon X\to T$ un moment sur un espace $k$ -analytique $X$ . On désignera par $f_{\text{trop}}\colon X\rightarrow T_{\text{trop}}$ l’application composée $X\to T\to T_{\text{trop}}$ . On dira que l’application $f_{\text{trop}}$ est la tropicalisation de $f$ ; c’est une application continue.

\remaname 2.2.7.

Si $f\colon T\to T^{\prime}$ est un morphisme affine entre tores, la notation $f_{\text{trop}}$ désigne donc aussi bien l’application induite $T_{\text{trop}}\to T^{\prime}_{\text{trop}}$ que sa composée $T\to T^{\prime}\to T^{\prime}_{\text{trop}}$ avec l’application de tropicalisation de $T$ . Cette ambiguïté n’aura, en pratique, guère de conséquences.