Soit $(U_{i})$ un recouvrement ouvert d’un ouvert $U$ de $X$, pour tout $i$, soit $S_{i}$ un courant sur $U_{i}$ tels que la restriction à $U_{i}\cap U_{j}$ des courants $S_{i}$ et $S_{j}$ coïncident, pour tous $i,j$. Démontrons qu’il existe une unique courant $S$ sur $U$ dont la restriction à $U_{i}$ est égale à $S_{i}$.

Soit $\omega$ une $(p,q)$-forme à support sur $U$ dont le support est compact et disjoint de $\partial(U)$. Soit $(\varphi_{i})$ une famille de fonctions lisses sur $U$, où pour tout $i$, le support de $\varphi_{i}$ est compact et contenu dans $\operatorname{Int}(U_{i}/k)$, telles que $\sum\varphi_{i}$ soit égale à $1$ au voisinage du support de $\omega$. En effet, soit $V$ un voisinage ouvert paracompact du support de $\omega$ dans $U$ ; pour tout $i$, posons $V_{i}=U_{i}\cap V$. La famille $(V_{i})$ est un recouvrement ouvert de $V$ ; il existe donc (proposition 3.3.6) une partition de l’unité $(\varphi_{i})$ subordonnée à $(V_{i})$ et constituée de fonctions lisses sur $V$.

On a $\omega=\sum\varphi_{i}\omega$, et seuls un nombre fini de termes de cette somme sont non nuls. Si $S$ est un courant sur $U$ dont la restriction à $U_{i}$ est égale à $S_{i}$, on a donc nécessairement $\langle\omega,S\rangle=\sum\langle\varphi_{i}\omega,S_{i}\rangle$, d’où l’unicité d’un courant $S$ vérifiant les conditions requises.

Soit $V^{\prime}$ un second ouvert paracompact contenant le support de $\omega$ ; posons $V^{\prime}_{i}=U_{i}\cap V^{\prime}$ et considérons une partition de l’unité $(\varphi^{\prime}_{i})$ subordonnée à $(V^{\prime}_{i})$ et constituée de fonctions lisses sur $V^{\prime}$. On a aussi $\omega=\sum_{i,j}\varphi^{\prime}_{j}\varphi_{i}\omega$, si bien que

où la deuxième égalité découle de la condition de coïncidence des courants $S_{i}$.

Il existe donc une unique application $S$ de l’espace $\mathscr{A}^{p,q}_{\text{c}}(U)$ dans $\mathbf{R}$ telle que $\langle\omega,S\rangle=\sum\langle\varphi_{i}\omega,S_{i}\rangle$ pour tout ouvert paracompact $V$ contenant le support de la $(p,q)$-forme $\omega$ et toute partition de l’unité $(\varphi_{i})$ subordonnée au recouvrement $(U_{i}\cap V)$ de $V$ formée de fonctions lisses sur $V$. Cette application est linéaire.

C’est un courant sur $U$. Soit $(\omega_{n})$ une suite de $(p,q)$-formes lisses à supports compacts sur $U$ qui converge vers $0$. Par définition, il existe une famille finie $(W_{\alpha})$ d’affinoïdes de $U$ et pour tout $\alpha$, un moment $\tau_{\alpha}\colon W_{\alpha}\rightarrow\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n_{\alpha}}$ et des $(p,q)$-formes lisses $\eta_{n,\alpha}$ sur $\mathbf{G}_{\mathrm{m},{\text{trop}}}^{n_{\alpha}}$ telles que $\tau_{\alpha}^{*}\eta_{n,\alpha}=\omega_{n}|_{W_{\alpha}}$, la suite $(\eta_{n,\alpha})$ tendant, pour tout $\alpha$, vers $0$ sur le polytope $\tau_{\alpha}(W_{\alpha})$. Soit $V$ un voisinage paracompact de la réunion des $W_{\alpha}$ et soit $(\varphi_{i})$ une partition de l’unité subordonnée au recouvrement $(U_{i}\cap V)$.

On peut raffiner les cartes tropicales $(W_{\alpha},\tau_{\alpha})$ de sorte que pour tout $\alpha$, $W_{\alpha}$ soit contenu dans l’un des $U_{i}$ et que, pour tout $i$ et tout $\alpha$, la restriction à $W_{\alpha}$ de $\varphi_{i}$ soit de la forme $\tau_{\alpha}^{*}\psi_{\alpha,i}$, où $\psi_{\alpha,i}$ est une fonction lisse sur $\mathbf{G}_{\mathrm{m},{\text{trop}}}^{n_{\alpha}}$.

Pour tout $n$, on a

D’après le lemme 4.1.2, $\varphi_{i}\omega_{n}$ tend vers $0$ dans l’espace des formes à support compact sur $U_{i}$, donc $\langle\varphi_{i}\omega_{n},S_{i}\rangle$ tend vers $0$. Finalement, $\langle\omega_{n},S\rangle$ tend vers $0$. Cela démontre que $S$ est un courant.

Soit $\omega$ une $(p,q)$-forme dont le support est compact et contenu dans $U_{j}$ ; soit $V$ et $(\varphi_{i})$ comme ci-dessus, où $V$ est contenu dans $U_{j}$. Pour tout $i$, le support de $\varphi_{i}\omega$ est contenu dans $U_{i}\cap U_{j}$, donc $\langle\varphi_{i}\omega,S_{j}\rangle=\langle\varphi_{i}\omega,S_{i}\rangle$. Alors,

Cela démontre que la restriction à $U_{i}$ du courant $S$ est égale à $S_{i}$. ∎