3.8 Intégrales et intégrales de bord sur les domaines d’un bon espace k -analytique [01QG]

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3.8 Intégrales et intégrales de bord sur les domaines d’un bon espace $k$ -analytique

3.8.1

Soit $X$ un espace $k$ -analytique, purement de dimension $n$ , et soit $\omega$ une forme de type $(n,n)$ (resp. $(n-1,n)$ ) à coefficients mesurables sur $X$ .

On appellera atlas intégral sur $X$ adapté à $\omega$ une famille $(X_{i},\lambda_{i},Y_{i})$ où :

$\bullet$ $(X_{i})$ est une famille d’ouverts relativement compacts de $X$ qui recouvre $\operatorname{supp}(\omega)$ ;

$\bullet$ $(\lambda_{i})$ est une partition de l’unité lisse sur $\bigcup X_{i}$ , subordonnée à $(X_{i})$ , et les $\lambda_{i}$ sont à support compact ;

$\bullet$ $Y_{i}$ est pour tout $i$ un voisinage analytique compact de $\operatorname{supp}(\lambda_{i}\omega|_{X_{i}})$ dans $X_{i}$ qui tropicalise $\lambda_{i}$ et $\omega$ .

Notons que s’il existe un atlas intégral $(X_{i},\lambda_{i},Y_{i})$ sur $Y$ adapté à $\omega$ , il existe pour tout domaine analytique fermé $Z$ de $X$ un atlas intégral sur $Z$ adapté à $\omega$ (c’est-à-dire, plus rigoureusement, à $\omega|_{Z}$ ) : il suffit de prendre $(X_{i}\cap Z,\lambda_{i}|_{Z\cap\bigcup X_{i}},Y_{i}\cap Z)$ , que l’on notera plus simplement $(X_{i},\lambda_{i},Y_{i})|_{Z}$ .

3.8.2

Supposons que $X$ est bon et que $\operatorname{supp}(\omega)\cap Y$ est fortement paracompact dans $X$ ; il existe alors un atlas intégral sur $Y$ adapté à $\omega$ .

En effet, choisissons un voisinage ouvert paracompact $\Omega$ de $\operatorname{supp}(\omega)\cap Y$ dans $X$ .

Il existe une famille $(V_{i})_{i\in I}$ de domaines affinoïdes de $\Omega$ telle que les $\mathring{V}_{i}$ recouvrent $\Omega$ . Soit $(\lambda_{i})_{i\in I}$ une partition de l’unité lisse sur $\Omega$ subordonnée au recouvrement $(\mathring{V}_{i})_{i}$ .

Pour tout $i\in I$ , le support de $\lambda_{i}\omega$ est constitué de points $x$ tels que $d_{k}(x)=n$ (lemme 3.2.5). D’après la proposition 3.4.4, il existe un voisinage affinoïde $U_{i}$ du support de $\lambda_{i}\omega$ dans $V_{i}$ qui tropicalise $\lambda_{i}$ et $\omega$ .

La famille $(\mathring{V}_{i}\cap Y,\lambda_{i}|_{\Omega\cap Y},U_{i}\cap Y)$ est alors un atlas intégral sur $Y$ adapté à $\omega$ .

Notons qu’on peut également, étant donné un ensemble fini $\mathscr{F}$ de formes mesurables sur $X$ , imposer de surcroît aux $U_{i}$ , et a fortiori aux $U_{i}\cap Y$ , de tropicaliser les formes appartenant à $\mathscr{F}$ .

3.8.3

On fait l’hypothèse qu’il existe un atlas intégral $(X_{i},\lambda_{i},Y_{i})$ sur $X$ qui est adapté à $\omega$ .

On pose $\int_{X}|\omega|=\sum\int_{Y_{i}}\lambda_{i}|\omega|$

\text{(resp.}\;\;\int_{\partial X}|\omega|=\sum\int_{\partial Y_{i}}\lambda_{i}|\omega|\;\;\text{)}.

On dira que la forme $\omega$ est intégrable sur $X$ (resp. sur $\partial X$ ) si $\int_{X}|\omega|<+\infty$ (resp. $\int_{\partial X}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}<+\infty$ ).

Si c’est le cas, $\lambda_{i}\omega$ est intégrable sur $Y_{i}$ (resp. sur $\partial Y_{i}$ ) pour tout $i$ , et la famille $(\int_{Y_{i}}\lambda_{i}\omega)_{i}$ (resp. $\int_{\partial Y_{i}}\lambda_{i}\omega_{i}$ ) est sommable. On pose alors

\int_{X}\omega=\sum_{i}\int_{Y_{i}}\lambda_{i}\omega_{i},

\text{(resp.}\;\int_{\partial X}\omega=\sum_{i}\int_{\partial Y_{i}}\lambda_{i}\omega)_{i}\;\text{)}.

Les valeurs de $\int_{X}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}$ (resp. $\int_{\partial X}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}$ ), et de $\int_{X}\omega$ (resp. $\int_{\partial X}\omega$ ) dans le cas intégrable semblent dépendre de notre choix d’atlas intégral. Il n’en est en réalité rien, comme le montre le lemme ci-dessous – ce qui justifie a posteriori nos notations.

\lemmname 3.8.4.

Démonstration.

Supposons tout d’abord que $\omega$ est de type $(n,n)$ .

Insensibilité au choix des $Y_{i}$ . Supposons donnée la famille $(X_{i},\lambda_{i})$ , et fixons $i$ . L’élément $\int_{Y_{i}}\lambda_{i}|\omega|$ de $[0;+\infty]$ et, le cas échéant, le réel $\int_{Y_{i}}\lambda_{i}\omega$ ne dépendent pas du choix de $Y_{i}$ .

Pour le voir, on choisit un (autre) domaine analytique compact $(Y^{\prime}_{i})$ de $X_{i}$ qui est un voisinage de $\operatorname{supp}(\lambda_{i}\omega)$ dans $X_{i}$ .

On a alors en vertu de l’assertion 2) de la proposition 3.7.2 les égalités

\int_{Y_{i}}\lambda_{i}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}=\int_{Y_{i}\cap Y^{\prime}_{i}}\lambda_{i}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}=\int_{Y^{\prime}_{i}}\lambda_{i}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|},

et les mêmes sans valeurs absolues en cas d’intégrabilité, ce qu’on souhaitait établir.

Insensibilité au choix de tout l’atlas. On suppose donné l’atlas intégral $(X_{i},\lambda_{i},Y_{i})$ ; soit $(X^{\prime}_{i},\lambda^{\prime}_{i},Y^{\prime}_{i})$ un autre atlas intégral sur $Y$ adapté à $\omega$ .

On peut modifier les $Y_{i}$ (ce qui, par ce qui précède, ne change pas les intégrales en jeu) de sorte que pour tout $i$ , le domaine analytique compact $Y_{i}$ tropicalise tous les $\lambda^{\prime}_{j}$ : cela provient du fait que si $i$ est fixé, presque toutes les fonctions $\lambda^{\prime}_{j}$ sont nulles sur $X_{i}$ (qui est relativement compact). De même, pour tout $j$ , on modifie $Y^{\prime}_{j}$ de sorte qu’il tropicalise toutes les fonctions lisses $\lambda_{i}$ . Posons $U=\bigcup X_{i}$ et $U^{\prime}=\bigcup X^{\prime}_{j}$ .

Comme les $\lambda_{i}$ et les $\lambda_{j}^{\prime}$ sont à support compact (dans $U$ et $U^{\prime}$ respectivement), on les prolonge par $0$ en des fonctions lisses sur $Y$ tout entier.

Fixons $i$ et $j$ . L’intégrale $\int_{Y^{\prime}_{j}}\lambda^{\prime}_{j}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}$ est alors égale à $\sum_{i}\int_{Y_{i}\cap Y^{\prime}_{j}}\lambda_{i}\lambda^{\prime}_{j}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}$ (notons qu’ici la somme est finie, puisque les $\lambda_{i}$ sont presque toutes nulles au voisinage du compact $Y^{\prime}_{j}$ ).

En effet, $\sum\lambda_{i}=1$ sur $U$ . Il existe donc un voisinage analytique compact $\Omega$ de $(\operatorname{supp}\omega)\cap Y^{\prime}_{j}$ dans $Y^{\prime}_{j}$ sur lequel $\sum\lambda_{i}=1$ (notons que par compacité de $\Omega$ cette somme est finie).

En vertu de l’assertion 2) de la proposition 3.7.2, il vient

\int_{ZY_{j}}\lambda^{\prime}_{j}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}=\int_{\Omega}\lambda^{\prime}_{j}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}=\sum_{i}\int_{\Omega}\lambda_{i}\lambda^{\prime}_{j}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}

=\sum_{i}\int_{\Omega\cap Y_{i}}\lambda_{i}\lambda^{\prime}_{j}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}=\sum_{i}\int_{Y^{\prime}_{j}\cap Y_{i}}\lambda_{i}\lambda^{\prime}_{j}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|},

comme annoncé. On a de même pour tout couple $(i,j)$ l’égalité

\int_{Y_{i}}\lambda_{i}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}=\sum_{j}\int_{Y_{i}\cap Y^{\prime}_{j}}\lambda_{i}\lambda^{\prime}_{j}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}.

On peut dès lors écrire

\sum_{j}\int_{Y^{\prime}_{j}}\lambda^{\prime}_{j}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}=\sum_{i,j}\int_{Y^{\prime}_{j}}\lambda_{i}\lambda^{\prime}_{j}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}=\sum_{j}\sum_{i}\int_{Y_{i}\cap Y^{\prime}_{j}}\lambda_{i}\lambda^{\prime}_{j}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}\\ =\sum_{j}\sum_{i}\int_{Y_{i}}\lambda_{i}\lambda^{\prime}_{j}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}=\sum_{i}\int_{Y_{i}}\lambda_{i}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}

ce qui prouve que $\int_{X}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}$ ne dépend pas pas du choix d’un l’atlas intégral adapté à $\omega$ .

Lorsque $\omega$ est intégrable, l’intégrale $\int_{X}\omega$ ne dépend pas non plus des choix faits : pour le prouver, on décalque la démonstration ci-dessus en remplaçant partout $\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}$ par $\omega$ .

La preuve du lemme lorsque $\omega$ est une $(n-1,n)$ -forme est en tout point similaire à celle que l’on vient de donner pour les $(n,n)$ -formes, à ceci près qu’elle se fonde sur l’assertion 2) de la proposition 3.7.3 au lieu de l’assertion 2) de la proposition 3.7.2. ∎

3.8.5 Compatibilité avec les définitions précédentes

Supposons maintenant que $X$ est compact, et que $\omega$ est tropicale.

Les définitions ci-dessus de $\int_{X}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}$ (resp. $\int_{\partial X}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}$ ), et de $\int_{X}\omega$ (resp. $\int_{\partial X}\omega$ ) dans le cas intégrable, coïncident avec celles données au paragraphe 3.7 : on le voit en choisissant comme atlas intégral adapté à $\omega$ la famille singleton $\{(X,1,X)\}$ .