Supposons $[u]=0$ et démontrons que $u$ est nulle sur $\operatorname{Int}(X)$. Raisonnons par l’absurde et soit $x$ un point intérieur de $X$ tel que $u(x)\neq 0$. Il existe alors une fonction continue $v$ sur $X$ telle que $uv$ soit identiquement égale à $1$ dans un voisinage $U$ de $X$. (Considérer un voisinage $V$ de $x$ sur lequel $u$ ne s’annule pas, puis un voisinage $U$ de $x$ contenu dans $V$ sur l’adhérence duquel $\mathopen{|}{u}\mathclose{|}$ admet une borne inférieure strictement positive. Soit $\lambda$ une fonction lisse qui vaut $1$ sur $U$ et dont le support est contenu dans $V$. La fonction $\lambda/u$ sur $V$ se prolonge par $0$ en une fonction continue $v$ sur $X$ et l’on a $uv=1$ en tout point de $U$.) La définition du courant $[u]$ entraîne que le courant $[vu]$ est identiquement nul. Par suite, la restriction à $U$ du courant d’intégration est nul, ce qui est absurde. ∎