Soit $\omega$ une $(n,n)$-forme à coefficients mesurables sur un ouvert $U$ de $\mathbf{R}^{n}$, donnée en coordonnées par la formule

où $\omega^{\sharp}$ est donc une fonction mesurable sur $U$. Si $\omega^{\sharp}$ est intégrable sur $U$, Lagerberg a défini l’intégrale de $\omega$ par la formule

où $\mathrm{d}x_{1}\dots\mathrm{d}x_{n}$ désigne la mesure de Lebesgue.

Si $f\colon\mathbf{R}^{n}\rightarrow\mathbf{R}^{n}$ est une application affine bijective, d’application linéaire associée $\overrightarrow{f}$, on a

Soit $n$ un entier naturel et soit $V$ un espace affine de dimension $n$ sur $\mathbf{R}$. Pour définir l’intégrale d’une $(n,n)$ forme intégrable $\omega$ sur un ouvert $U$ de $V$, il suffit de fixer un isomorphisme affine de $V$ sur $\mathbf{R}^{n}$ et d’appliquer la définition ci-dessus. Le problème est que le résultat obtenu dépend de l’isomorphisme choisi : en effet, par ce qui précède, deux isomorphismes $u$ et $u^{\prime}$ fournissent la même notion d’intégrale si et seulement le jacobien de l’automorphisme affine $u^{\prime}\circ u^{-1}$ de $\mathbf{R}^{n}$ est égal à $\pm 1$.

Pour définir l’intégrale d’une $(n,n)$-forme sur un ouvert d’un espace affine, des données supplémentaires sont donc nécessaires. Comme on vient de le voir, ce peut être, un système de coordonnées affines  ; mais comme la dépendance en un tel système ne fait intervenir que la valeur absolue du jacobien du changement de variables, il est suffisant de se donner un $n$-vecteur et une orientation.

Le but des paragraphes qui suivent est d’expliciter cette assertion un peu vague et de définir du même coup l’intégrale d’une $(n-1,n)$-forme sur le bord d’un demi-espace de $V$.

Soit $V$ un $\mathbf{R}$-espace affine de dimension finie. Soit $\mathscr{F}$ la classe des fonctions numériques mesurables sur un espace affine, et soit $\mathscr{L}^{1}$ la sous-classe formée des fonctions intégrables pour la mesure de Lebesgue. (On n’identifie pas deux fonctions égales presque partout.)

Soit $W$ un sous-espace affine de $V$, soit $p$ sa dimension ; soit $o$ une orientation de $W$.

Soit $n$ un entier naturel et soit $\lambda\in\Lambda^{n}V$. Soit $\omega$ une $(p,n)$-forme à coefficients dans $\mathscr{F}$ sur un ouvert $U$ de $V$. On note $\langle\omega,\lambda\rangle$ la $(p,0)$-forme sur $V$ déduite de $\omega$ en contractant par $\lambda$ la partie faisant intervenir les variables en $\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}$ ; c’est donc une $p$-forme (au sens usuel de la géométrie différentielle) à coefficients mesurables sur $V$. On note alors

la masse totale de la mesure sur $U\cap W$ déduite de la restriction à $W$ de la $p$-forme $\langle\omega,\lambda\rangle$. On dit que $\omega$ est intégrable sur $W\cap U$ si cette masse totale est finie.

Dans ce cas, l’orientation $o$ fixée sur $W$ permet de définir l’intégrale de $\langle\omega,\lambda\rangle$ sur $U\cap W$ ; sous-entendant le choix de l’orientation $o$, on note naturellement

cette intégrale.

Les formes $\omega$ de type $(p,n)$ à coefficients mesurables sur $U$ qui sont intégrables sur $W$ forment un sous-espace vectoriel de $\mathscr{F}^{p,n}_{V}(U)$. L’application $\omega\mapsto\int_{U\cap W}\langle\omega,\lambda\rangle$ est linéaire.

Lorsqu’on change l’orientation $o$ en l’orientation opposée, l’intégrale d’une forme (par rapport à $(o,\lambda)$) est transformée en son opposée. De même, lorsqu’on change le $n$-vecteur $\lambda$ en le multiple $a\lambda$, l’intégrale d’une forme est multipliée par $a$.

En particulier, la notion d’intégrabilité et l’intégrale ne sont pas modifiées si l’on change simultanément l’orientation $o$ en l’orientation opposée et le $n$-vecteur $\lambda$ en son opposé $-\lambda$. Ces notions ne dépendent donc que de la classe $\mu$ du couple $(o,\lambda)$ dans le produit contracté $\operatorname{Or}(\overrightarrow{W})\times^{\{-1,1\}}\Lambda^{n}\overrightarrow{V}$ de l’ensemble des orientations sur $\overrightarrow{W}$ et de l’espace des $n$-vecteurs sur $\overrightarrow{V}$, munis des actions naturelles de $\{-1,1\}$.

On notera ainsi $\int_{U\cap W}\langle\omega,\mu\rangle$ et $\int_{U\cap W}\langle\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|},\mathopen{|}{\mu}\mathclose{|}\rangle$ ce qui était noté $\int_{U\cap W}\langle\omega,\lambda\rangle$ et $\int_{U\cap W}\langle\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|},\mathopen{|}{\lambda}\mathclose{|}\rangle$.

On peut penser aux symboles $\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}$ et $\mathopen{|}{\mu}\mathclose{|}$ comme représentant « $\omega$ et $\mu$ au signe près ».

Supposons que $n$ soit égal à la dimension de $V$. Nous appellerons vecteur-volume sur $V$ un élément du produit contracté $\mathopen{|}{\Lambda^{n}\overrightarrow{V}}\mathclose{|}=\operatorname{Or}(\overrightarrow{V})\times^{\{-1,1\}}\Lambda^{n}\overrightarrow{V}$. Concrètement, on obtient bien sûr un tel vecteur-volume à partir d’une base $(e_{1},\ldots,e_{n})$ de $\overrightarrow{V}$, décrétée directe, et d’un $n$-vecteur $a\overrightarrow{e}_{1}\wedge\dots\wedge e_{n}$ de $\overrightarrow{V}$. Soit $U$ un ouvert de $V$.

D’après les paragraphes précédents, une fois choisi un vecteur-volume $\mu$ sur $V$, on peut définir : l’intégrale $\int_{U}\langle\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|},\mathopen{|}{\mu}\mathclose{|}\rangle$ pour toute forme mesurable $\omega$ de type $(n,n)$ sur $U$ de $V$  ; la notion de $\mu$-intégrabilité d’une telle forme  ; et, pour une $(n,n)$-forme $\omega$ sur $U$ qui est mesurable et $\mu$-intégrable, l’intégrale $\int_{U}\langle\omega,\mu\rangle$.

Si $\omega=\omega^{\sharp}(x_{1},\ldots,x_{n})\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x_{1}\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}x_{1}\wedge\ldots\wedge\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x_{n}\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}x_{n}$ en coordonnées dans un repère $(O,e_{1},\ldots,e_{n})$ alors $\omega$ est $\mu$-intégrable si et seulement si la fonction $a\omega^{\sharp}$ sur $U$ est intégrable. Cela ne dépend d’ailleurs pas de $a$, sauf si $a=0$ auquel cas toute forme mesurable est $\mu$-intégrable.

On a

et

lorsque $\omega$ est $\mu$-intégrable. Lorsque $a=1$, on retrouve la formule de Lagerberg.

Soit $f\colon V\rightarrow V^{\prime}$ un isomorphisme d’espaces affines de dimension finie et soit $\mu$ un vecteur-volume sur $V$.

Soit $f_{*}(\mu)$ le vecteur volume sur $V^{\prime}$ déduit de $\mu$ par transport de structure.

Soit $\omega^{\prime}$ une $(n,n)$-forme à coefficients mesurables sur $V^{\prime}$ et soit $\omega=f^{*}\omega^{\prime}$. Pour que $\omega$ soit $\mu$-intégrable, il faut et il suffit que $\omega^{\prime}$ soit $f_{*}(\mu)$-intégrable ; alors,

On suppose toujours que $n$ est la dimension de $V$. Soit $V_{+}$ un demi-espace fermé de $V$ ; c’est un sous-espace linéaire par morceaux de $V$ dont le bord $\partial V_{+}$ est un hyperplan affine. Si $\ell$ est une forme affine telle que $V_{+}=\{\ell\geq 0\}$, on dit qu’un vecteur $v\in\overrightarrow{V}$ est sortant de $V_{+}$ si $\ell(v)\leq 0$, l’adverbe strictement signifiant que l’inégalité précédente est stricte.

Tout vecteur-volume $\mu$ sur $V$ induit canoniquement un élément $\partial\mu_{+}$ de $\operatorname{Or}(\overrightarrow{\partial V_{+}})\times^{\{-1,1\}}\Lambda^{n}\overrightarrow{V}$ défini comme suit. On choisit une orientation $o$ de $\overrightarrow{\partial V_{+}}$, une base directe $(e_{2},\ldots,e_{n})$ de $\overrightarrow{\partial V_{+}}$, un vecteur $e_{1}$ strictement sortant de $V_{+}$, et l’on note $o^{\prime}$ l’orientation de $V$ pour laquelle la base $(e_{1},\ldots,e_{n})$ est directe. Il existe alors un unique $\lambda\in\Lambda^{n}\overrightarrow{V}$ tel que $(o^{\prime},\lambda)$ soit égal à $\mu$ dans $\mathopen{|}{\Lambda^{n}\overrightarrow{V}}\mathclose{|}$. Le couple $(o,\lambda)$ définit un élément $\partial\mu_{+}$ de $\operatorname{Or}(\overrightarrow{\partial V})\times^{\{-1,1\}}\Lambda^{n}\overrightarrow{V}$ qui est indépendant des choix faits.

D’après les paragraphes 1.3.3 et 1.3.4, on peut alors définir : l’intégrale $\int_{U\cap\partial V_{+}}\langle\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|},\mathopen{|}{\partial\mu_{+}}\mathclose{|}\rangle$ pour toute forme mesurable $\omega$ de type $(n-1,n)$ sur $U$  ; la notion de $\partial\mu_{+}$-intégrabilité d’une telle forme sur $\partial V_{+}$  ; et, pour une forme $\omega$ sur $U$ qui est mesurable et $\partial\mu_{+}$-intégrable sur $\partial V_{+}$, l’intégrale $\int_{U\cap\partial V_{+}}\langle\omega,\partial\mu_{+}\rangle$.

Concrètement, choisissons $(e_{1},\dots,e_{n})$ comme ci-dessus. Cette base étant vue comme directe, le vecteur volume $\mu$ est donné par un $n$-vecteur $ae_{1}\wedge\dots\wedge e_{n}$ de $\Lambda^{n}\overrightarrow{V}$. Choisissons aussi une origine sur $\partial V_{+}$ ; dans les coordonnées correspondantes, on peut écrire

On a alors

La forme $\omega$ est $\partial\mu_{+}$-intégrable sur $W$ si et seulement si $a\omega_{1}(0,*,\ldots,*)$ est $L^{1}$ (ce qui ne dépend pas de $a$, sauf si celui-ci est nul, auquel cas toute forme mesurable est $\partial\mu_{+}$-intégrable). Si c’est le cas,