Soit $T$ et $T^{\prime}$ deux tores. Les $\mathbf{R}$-espace vectoriels $T_{\text{trop}}$ et $T^{\prime}_{\text{trop}}$ sont égaux respectivement à $\operatorname{Hom}(\mathsf{X}(T),\mathbf{R}^{\times}_{+})$ et $\operatorname{Hom}(\mathsf{X}(T^{\prime}),\mathbf{R}^{\times}_{+})$.

On dispose par conséquent d’un isomorphisme naturel

$$\operatorname{Hom}_{\mathbf{R}-\text{lin}}(T_{\text{trop}},T^{\prime}_{\text{trop}})\simeq\operatorname{Hom}(\mathsf{X}^{\prime}(T),\mathsf{X}(T))\otimes_{\mathbf{Z}}\mathbf{R}.$$

Notons que dans le cas particulier où $T^{\prime}=\mathbf{G}_{\mathrm{m}}$, on a $T^{\prime}_{\text{trop}}=\mathbf{R}^{\times}_{+}$ d’où un isomorphisme naturel

$$\operatorname{Hom}_{\mathbf{R}-\text{lin}}(T_{\text{trop}},\mathbf{R}^{\times}_{+})\simeq\mathsf{X}(T)\otimes_{\mathbf{Z}}\mathbf{R}.$$

Désormais, et sauf mention expresse du contraire :

• —

  une cellule de $T_{\text{trop}}$ sera toujours une cellule « à pentes rationnelles », c’est-à-dire définie comme une intersection de demi-espaces fermés décrits par des inégalités de la forme $\varphi\leq a$, où $\varphi\in\mathsf{X}(T)\subset\operatorname{Hom}_{\mathbf{R}-\text{lin}}(T_{\text{trop}},\mathbf{R}^{\times}_{+})$ et où $a\in\mathbf{R}^{\times}_{+}$  ;

• —

  un polytope de $T_{\text{trop}}$ sera toujours une union finie de cellules à pentes rationnelles, et une décomposition cellulaire d’un polytope de $T_{\text{trop}}$ sera toujours constituée de cellules à pentes rationnelles  ;

• —

  une application $T_{\text{trop}}\to T^{\prime}_{\text{trop}}$ sera dite affine si elle est composée d’une translation et d’une application appartenant à $\operatorname{Hom}(\mathsf{X}(T^{\prime}),\mathsf{X}(T))\otimes\mathbf{Q}$.

• —

  une application continue $f$ d’un polytope $P$ de $T_{\text{trop}}$ vers $T^{\prime}_{\text{trop}}$ sera dite linéaire par morceaux s’il existe une décomposition cellulaire $\mathscr{C}$ de $P$ telle que la restriction de $f$ à chaque cellule de $\mathscr{C}$ s’étende en une application affine de $T_{\text{trop}}$ vers $T^{\prime}_{\text{trop}}$.

Nous parlerons également à l’occasion de cellule et de polytope de $S(T)$, d’application affine de $S(T)$ vers $S(T^{\prime})$, et d’application linéaire par morceaux d’un polytope de $S(T)$ vers $S(T^{\prime})$ ou vers $T^{\prime}_{\text{trop}}$ : ces notions sont simplement déduites des notions correspondantes sur $T_{\text{trop}}$ et $T^{\prime}_{\text{trop}}$ via les homéomorphisme naturels $S(T)\simeq T_{\text{trop}}$ et $S(T^{\prime})\simeq S(T^{\prime})_{\text{trop}}$.

Soit $X$ un espace $k$-analytique compact et soit $f:X\to T$ un moment  ; soit $n$ la dimension de $X$.

Le compact $f_{\text{trop}}(X)$ est alors un polytope de $T_{\text{trop}}$ de dimension $\leq n$  ; ce résultat a été établi par Berkovich dans le cas où $X$ est G-localement algébrisable, cf. [9], cor. 6.2.2. Pour le cas général, on pourra se reporter à [27], §3.30 ou à [31], th. 3.2.

Le théorème 3.2 de [31] assure également que $f_{\text{trop}}(\partial X)$ est contenu dans un polytope de dimension $\leq n-1$, et est lui-même un polytope de dimension $\leq n-1$ si $X$ est affinoïde.

Soit $X$ un espace $k$-analytique et soit $x$ un point de $X$. Soit $f\colon X\to T$ un moment  ; posons $\xi=f_{\text{trop}}(x)$, et notons $n$ la dimension de $T$.

En vertu du théorème 3.3 de [31], il existe un voisinage analytique compact $U$ de $x$ dans $X$ qui possède la propriété suivante : pour tout voisinage analytique compact $V$ de $x$ dans $U$, les germes de polytopes $(f_{\text{trop}}(U),\xi)$ et $(f_{\text{trop}}(V),\xi)$ coïncident. La dimension $d$ de $f_{\text{trop}}(U)$ en $\xi$ ne dépend pas du choix de $U$ et est appelée la dimension tropicale de $f$ en $x$.

Le théorème 3.3 de [31] affirme également que si $x\notin\partial X$ alors $f_{\text{trop}}(U)$ est purement de dimension $d$ en $\xi$ ; et que si de plus $d=n$ alors $f_{\text{trop}}(U)$ est un voisinage de $\xi$ dans $T_{\text{trop}}$.

Par ailleurs, il donne une majoration (dans le cas général) et une expression explicite (dans le cas sans bord) de l’entier $d$ en fonction d’invariants mettant en jeu le corps résiduel gradué de ${\mathscr{H}}(x)$ – c’est une notion introduite par Temkin dans [53] dont nous n’aurons pas besoin ici. À l’aide de [31], (0.12) et (0.13), il en découle notamment les faits suivants :

• —

  L’entier $d$ est majoré par $d_{k}(x)$  ;

• —

  Si $d=n$, alors $f(x)\in S(T)$  ;

• —

  Inversement, si $f(x)\in S(T)$ et si de plus $x\notin\partial X$, alors $d=n$.

Soit $X$ un espace $k$-analytique de dimension $n$, et soit $f_{1}\colon X\to T_{1}$,…, $f_{m}\colon X\to T_{m}$ des moments sur $X$, où les tores $T_{i}$ sont tous de dimension $n$.

Soit $\Sigma$ la réunion des $f_{i}^{-1}(S(T_{i}))$. Il résulte du théorème 5.1 de [31] que $\Sigma$ possède une structure naturelle d’espace linéaire par morceaux, qui peut être définie uniquement à l’aide de la structure analytique de $X$, sans référence à l’écriture de $\Sigma$ comme réunion des $f_{i}^{-1}(S(T_{i}))$.

Nous n’allons pas dire ici précisément ce que nous entendons par espace linéaire par morceaux  ; nous renvoyons le lecteur intéressé au chapitre 1 de [9] ou au chapitre 0 de [31]. Indiquons simplement que si $Y$ est un domaine analytique compact de $X$, il existe un recouvrement de $\Sigma\cap Y$ par une famille finie $(P_{j})$ de compacts satisfaisant les conditions suivantes.

• —

  Pour tout $j$, il existe un moment $\varphi_{j}$ défini sur un domaine analytique de $Y$ contenant $P_{j}$, à valeurs dans $\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{N_{j}}$ pour un certain entier $N_{j}$, et tel que $\varphi_{j,{\text{trop}}}$ identifie $P_{j}$ à un polytope de ${\bf G}_{m,{\text{trop}}}^{N_{j}}$  ;

• —

  Pour tout $(j_{1},j_{2})$, l’intersection $P_{j_{1}}\cap P_{j_{2}}$ s’identifie via $\varphi_{j_{1},{\text{trop}}}$ à un polytope de ${\bf G}_{m,{\text{trop}}}^{N_{j_{1}}}$, et via $\varphi_{j_{2},{\text{trop}}}$ à un polytope de ${\bf G}_{m,{\text{trop}}}^{N_{j_{2}}}$  ;

• —

  Pour toute fonction analytique inversible $f$ sur $Y$ et tout indice $j$, l’application composée

  $$\varphi_{j,{\text{trop}}}(P_{j})\simeq P_{j}\stackrel{{\scriptstyle|f|}}{{\rightarrow}}\mathbf{R}^{\times}_{+}$$

  est linéaire par morceaux.