Cette construction est fonctorielle. Plus précisément, si $f\colon Y\to X$ est un morphisme d’espaces $k$-analytiques, on dispose d’une application naturelle $f^{*}\colon f^{-1}(\mathscr{A}^{*,*}_{X})\to\mathscr{A}^{*,*}_{Y}$ qui est un morphisme d’anneaux gradués, commute aux dérivations $\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}$ et $\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}$ ainsi qu’à l’involution $\mathrm{J}$.

On dispose également d’une application naturelle $f^{*}\colon f^{-1}(\mathscr{F}^{*,*}_{X})\to\mathscr{F}^{*,*}_{Y}$ qui est un morphisme de $\mathscr{A}_{Y}$-modules gradués, et de $\mathscr{F}_{Y}$-algèbres graduées si $\mathscr{F}$ est stable par multiplication, et qui commute à l’involution $\mathrm{J}$.

Si $Y$ est un domaine analytique ou un fermé de Zariski de $X$ et si $\alpha\in\mathscr{A}^{p,q}_{X}(X)$ on se permettra de noter $\alpha|_{Y}$ l’image de $\alpha$ dans $\mathscr{A}^{p,q}_{Y}(Y)$.