Soit $X$ un espace analytique, soit $E$ un fibré vectoriel sur $X$ muni d’une métrique continue $\mathopen{\|}{\cdot}\mathclose{\|}$. Pour toute section $s$ de $E$ sur un domaine analytique $U$ de $X$, on déduit de $\mathopen{\|}{\cdot}\mathclose{\|}$ une application continue, notée $\mathopen{\|}{s}\mathclose{\|}$, de $U$ dans $\mathbf{R}_{+}$ : c’est la composition

où l’on note encore $s$ la section au-dessus de $U$ de la projection canonique de $\mathbf{V}(E)$ sur $X$.

Notons $\mathscr{C}^{0}_{X}$ (resp. $\mathscr{C}^{0}_{X_{\rm G}}$) le faisceau $U\mapsto\mathscr{C}^{0}(U,\mathbf{R})$ sur l’espace topologique $X$ (resp. le site $X_{\rm G}$). Une métrique continue sur $E$ donne lieu à un morphisme de faisceaux $E\to\mathscr{C}^{0}_{X_{\rm G}}$, noté $s\mapsto\mathopen{\|}{s}\mathclose{\|}$, qui vérifie les propriétés suivantes :

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  Si $U$ est un domaine analytique de $X$, $f\in\Gamma(U,\mathscr{O}_{X})$ et $s\in\Gamma(U,E)$, alors $\mathopen{\|}{fs}\mathclose{\|}=\mathopen{|}{f}\mathclose{|}\mathopen{\|}{s}\mathclose{\|}$ ;

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  Si $U$ est un domaine analytique de $X$ et $s_{1},s_{2}\in\Gamma(U,E)$, alors $\mathopen{\|}{s_{1}+s_{2}}\mathclose{\|}\leq\max(\mathopen{\|}{s_{1}}\mathclose{\|},\mathopen{\|}{s_{2}}\mathclose{\|})$ ;

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  Si $U$ est un domaine analytique de $X$ et $s\in\Gamma(U,E)$, la fonction $\mathopen{\|}{s}\mathclose{\|}$ est à valeurs positives et s’annule en un point $x$ de $U$ si et seulement si $s(x)=0$.