Soit $\alpha$ une forme différentielle de type $(p,q)$ sur $X$ et soit $[\alpha]$ le courant de bidegré $(p,q)$ qui lui est associé. Pour toute forme $\omega\in\mathscr{A}^{(n-p,n-q)}_{\text{c}}(X)$, on a

$$\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}(\alpha\wedge\omega)=\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}\alpha\wedge\omega+(-1)^{p+q}\alpha\wedge\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}\omega.$$

Comme le support de $\alpha\wedge\omega$ est disjoint de $\partial X$, la formule de Stokes (théorème 3.12.1) entraîne

$$\int_{X}\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}\alpha\wedge\omega=(-1)^{p+q+1}\int_{X}\alpha\wedge\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}\omega,$$

autrement dit

$$\mathrm{b}^{\prime}[\alpha]=(-1)^{p+q+1}[\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}\alpha].$$

On définit ainsi l’opérateur $\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}$ de $\mathscr{D}^{(p,q)}(X)$ dans $\mathscr{D}^{(p+1,q)}$ par

$$\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}=(-1)^{p+q+1}\mathrm{b}^{\prime}.$$

(4.4.3.1)

De même, on pose

$$\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}=(-1)^{p+q+1}\mathrm{b}^{\prime\prime},$$

(4.4.3.2)

de sorte que pour toute forme $\alpha\in\mathscr{A}^{(p,q)}(X)$, $\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}[\alpha]=[\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}\alpha]$.

On vérifie aussi la relation $\mathrm{J}\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}\mathrm{J}=\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}$.

Par ailleurs, il est utile de remarquer que pour tout courant $S\in\mathscr{D}_{(p,q)}(X)$ et toute forme $\alpha\in\mathscr{A}^{p,q}_{\text{c}}(X)$, on a

$$\langle\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}S,\alpha\rangle=\langle S,\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}\alpha\rangle.$$

(4.4.3.3)

En effet, $\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}S=((-1)^{p+q+2}\mathop{\mathrm{b^{\prime}}})((-1)^{p+q+1}\mathop{\mathrm{b}^{\prime\prime}})S=-\mathop{\mathrm{b^{\prime}}}\mathop{\mathrm{b}^{\prime\prime}}S$ est l’image de $S$ par le transposé de $-\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}=\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}$.