Soit $(f_{i},P_{i})$ une famille de cartes tropicales, de sorte que $f_{i}$ soit un moment sur un ouvert $V_{i}$ de $X$ et $P_{i}$ un polytope compact contenant $f_{i,{\text{trop}}}(V_{i})$, et, pour tout $i$, soit $\alpha_{i}$ une forme sur $P_{i}$ telle que $\omega\mathrel{|}{V_{i}}=f_{i}^{*}\alpha_{i}$. Par hypothèse, il existe une famille localement finie $(\lambda_{i})$ de fonctions lisses sur $X$, subordonnée à ce recouvrement, telles que $0\leq\lambda_{i}\leq 1$ pour tout $i$ et $\sum\lambda_{i}$ est identiquement égale à $1$ au voisinage du support de $\omega$.

Pour tout $i$, choisissons des formes fortement positives $\alpha_{i,1}$ et $\alpha_{i,2}$ sur $P_{i}$ telles que $\alpha_{i}=\alpha_{i,1}-\alpha_{i,2}$. Posons alors $\omega_{1}=\sum\lambda_{i}f_{i}^{*}\alpha_{i,1}$ et $\omega_{2}=\sum\lambda_{i}f_{i}^{*}\alpha_{i,2}$ ; ce sont des formes lisses et fortement positives telles que $\omega=\omega_{1}-\omega_{2}$. ∎