Quitte à étendre les scalaires, on peut supposer que la valuation du corps de base $k$ est non triviale. Quitte à raffiner la décomposition polytopale, on suppose que $f_{\text{trop}}(\partial X)$ est contenu dans la réunion des $(n-1)$-cellules de $\mathscr{C}$.

Soit $F$ une $(n-1)$-cellule de $\mathscr{C}$ qui n’est pas contenue dans $f_{\text{trop}}(\partial X)$. Qualifions de bonne toute surjection affine $u\colon T_{\text{trop}}\rightarrow\mathbf{R}^{n}$ qui possède les propriétés suivantes :

• —

  si $C$ est une $n$-cellule de $\mathscr{C}$ contenant $F$ alors $u|_{\langle C\rangle}$ est injective  ;

• —

  si $G$ est une $(n-1)$-cellule de $\mathscr{C}$ qui diffère de $F$ alors

  $$\langle u(G)\rangle\neq\langle u(F)\rangle.$$

Chacune de ces conditions définit un ouvert de Zariski non vide de l’espace affine ${\rm Aff}(T_{\text{trop}},\mathbf{R}^{n})$. L’ensemble $\Omega$ des bonnes applications affines de $T_{\text{trop}}$ dans $\mathbf{R}^{n}$ est donc un ouvert de Zariski dense de ${\rm Aff}(T_{\text{trop}},\mathbf{R}^{n})$  ; notons $\Omega_{\mathbf{Z}}$ le sous-ensemble de $\Omega$ formé des applications affines dont la partie vectorielle est entière et la partie de translation est dans $\log\mathopen{|}{k^{\times}}\mathclose{|}$  ; on peut également décrire $\Omega_{\mathbf{Z}}$ comme l’ensemble des applications affines appartenant à $\Omega$ qui sont de la forme $p_{\text{trop}}$ où $p\colon T\rightarrow\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n}$ est un morphisme affine et surjectif de tores. Comme $|k^{\times}|\neq\{1\}$, l’ensemble $\Omega_{\mathbf{Z}}$ est non vide, et rencontre même tout ouvert de Zariski non vide de ${\rm Aff}(T_{\text{trop}},\mathbf{R}^{n})$.

Soit $u\in\Omega_{\mathbf{Z}}$ et soit $p\colon T\rightarrow\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n}$ un morphisme affine et surjectif de tores tel que $u=p_{\text{trop}}$. Notons $\mathscr{C}_{F}$ l’ensemble des cellules appartenant à $\mathscr{C}$ dont $F$ est une face. Notons $H^{+}$ et $H^{-}$ les deux demi-espaces délimités par $p_{\text{trop}}(\langle F\rangle)$. Soit $C$ un élément de $\mathscr{C}_{F}$ ; alors $p_{\text{trop}}(C)$ est contenu dans l’un des deux demi-espaces $H^{+}$ et $H^{-}$, et l’un deux seulement ; on posera $\varepsilon_{C}=1$ si $p_{\text{trop}}(C)\subset H^{+}$ et $\varepsilon_{C}=-1$ sinon. Notons aussi $\sigma_{C}\colon\mathbf{R}^{n}\rightarrow T_{\text{trop}}$ l’unique section de $p_{\text{trop}}$ dont l’image est $\langle C\rangle$.

Par définition d’une bonne application affine, il existe $x\in F$ et un pavé ouvert $U\subset\mathbf{R}^{n}$ de centre $y:=p_{\text{trop}}(x)$ possédant les propriétés suivantes :

• —

  les seules cellules fermées de $\mathscr{C}$ contenant $x$ sont $F$ et les éléments de $\mathscr{C}_{F}$, ce qui implique que $\bigcup_{C\in\mathscr{C}_{F}}C$ est un voisinage de $x$ dans $f_{\text{trop}}(X)$  ;

• —

  si $G$ est une $(n-1)$-cellule de $\mathscr{C}$ différente de $F$ alors $p_{\text{trop}}(G)\cap U=\emptyset$.

Posons $U^{+}=U\cap H^{+}$ et $U^{-}=U\cap H^{-}$. Pour toute $C\in\mathscr{P}_{F}$, l’image réciproque de $U$ sur $C$ est un demi-pavé $U_{C}$ (fermé le long de sa tranche médiane) de l’espace affine $\langle C\rangle$, qui s’envoie homéomorphiquement sur $U^{+}$ si $\varepsilon_{C}=1$ et sur $U^{-}$ si $\varepsilon_{C}=-1$. La réunion $V$ des $U_{C}$, pour $C\in\mathscr{C}_{F}$, est une composante connexe de $p_{\text{trop}}^{-1}(U)$.

La condition 2) ci-dessus et les hypothèses faites sur $F$ et sur la décomposition $\mathscr{C}$ garantissent que $U$ ne rencontre pas $(p\circ f)_{\text{trop}}(\partial X)$. Il résulte alors de la section 2.4 que $(p\circ f)|_{f_{\text{trop}}^{-1}(V)}$ est fini et plat sur $U_{\mathrm{sq}}$  ; soit $d$ le degré correspondant.

Pour toute $C\in\mathscr{C}_{F}$, notons $U^{\prime}_{C}$ le demi-pavé ouvert $U_{C}-F$. Les composantes connexes de l’image réciproque de $U^{++}:=U^{+}-p_{\text{trop}}(F)$ dans $V$ sont exactement les $U^{\prime}_{P}C$ pour les polytopes $C\in\mathscr{P}_{F}$ tels que $\varepsilon_{C}=1$. Comme $f_{\text{trop}}^{-1}(V)$ est fini et plat de degré $d$ sur $U^{++}_{\mathrm{sq}}$, on en déduit l’assertion suivante : pour toute $C$ tel que $\varepsilon_{C}=1$, l’ouvert $f_{\text{trop}}^{-1}(U^{\prime}_{C})$ de $X$ est fini et plat sur $U^{++}$, et si $d_{C}$ désigne le degré correspondant alors $d=\sum d_{C}$.

Les composantes connexes de l’image réciproque de $U^{--}:=U^{-}-p_{\text{trop}}(F)$ dans $V$ sont exactement les $U^{\prime}_{C}$ pour les indices $i$ tels que $\varepsilon_{C}=-1$. Comme $f_{\text{trop}}^{-1}(V)$ est fini et plat de degré $d$ sur $U^{--}_{\mathrm{sq}}$, on en déduit l’assertion suivante : pour toute $C$ tel que $\varepsilon_{C}=-1$, l’ouvert $f_{\text{trop}}^{-1}(U^{\prime}_{C})$ de $X$ est fini et plat sur $U^{--}$, et si $d_{C}$ désigne le degré correspondant alors $d=\sum d_{C}$.

Il résulte par ailleurs de la définition des entiers $d_{C}$ et du calibrage $\mu_{f}$ que pour toute cellule $C\in\mathscr{C}_{F}$, la restriction de $\mu_{f}$ à $U^{\prime}_{C}$ est égale à $\varepsilon_{C}\,d_{C}\,\sigma_{C,*}(e_{1}\wedge\dots\wedge e_{n})$. La discordance de $\mu_{f}$ le long de $f$ est donc égale à la somme

Comme

on a $\sum\epsilon_{C}d_{C}=0$. Par suite,

Cela prouve que $\mu_{C}$ appartient au noyau de $\bigwedge^{n}p_{\text{trop}}$.

Ceci vaut pour tout morphisme affine $p$ de tores tel que $p_{\text{trop}}$ soit une bonne application affine. Par conséquent,

On en déduit que $\mu_{F}=0$. ∎