Nous introduisons alors la notion de courant. Comme chez Schwartz et De Rham, ceux-ci sont définis comme les formes linéaires sur l’espace des formes différentielles lisses à support compact (et, techniquement, qui évitent le bord) qui vérifient une condition de continuité convenable. Par l’intégration des formes différentielles de type $(n,n)$ et le produit extérieur, les formes s’identifient à des courants. L’intégration sur $X$, sur un sous-espace de $X$, une mesure sur $\operatorname{Int}(X)$, donnent aussi lieu à des courants.

Si $f$ est une fonction méromorphe régulière sur $X$ (c’est-à-dire définie sur un ouvert de Zariski dense), la fonction $\log\mathopen{|}{f}\mathclose{|}$ définit un courant. Notons $\operatorname{div}(f)$ le diviseur de $f$ (un cycle de codimension $1$ sur $X$) et $\delta_{\operatorname{div}(f)}$ le courant sur $X$ qui se déduit par linéarité des divers courants d’intégration sur les composantes de $\operatorname{div}(f)$. Nous prouvons alors l’analogue de la formule de Poincaré-Lelong.

$$\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}\log\mathopen{|}{f}\mathclose{|}=\delta_{\operatorname{div}(f)}.$$