Pour des problèmes de géométrie arithmétique sur un corps de fonctions $k(C)$, où $C$ est une variété algébrique projective sur un corps $k$, il est courant et fructueux de considérer un objet défini sur $k(C)$ (variété, faisceau, morphisme…) comme un germe d’objet sur $C$ puis de le prolonger sur $C$ tout entier. La conjecture de Mordell sur les corps de fonctions devient alors un énoncé sur les sections d’une surface projective fibrée en courbes de genre au moins $2$ au-dessus d’une courbe projective. On peut alors utiliser tout l’attirail de la géométrie algébrique sur cette surface, notamment la théorie de l’intersection.

Sur les corps de nombres, la théorie des schémas de Grothendieck donne un corps à ce principe. Cependant, le spectre $\operatorname{Spec}(\mathbf{Z})$ de $\mathbf{Z}$ est un schéma affine de dimension $1$, donc l’analogue d’une courbe algébrique affine, et n’a pas de compactification naturelle. Une telle compactification ne serait vraisemblablement pas définissable uniquement par l’algèbre. La nullité du degré du diviseur d’une fonction sur une courbe projective a pour analogue la formule du produit. Dans cette analogie, c’est ainsi aux points fermés d’une courbe affine que correspondent les idéaux maximaux de $\mathbf{Z}$, et le rôle des points à l’infini sera joué par la valeur absolue usuelle, archimédienne, de $\mathbf{Z}$, un objet de nature plus analytique, ou en tout cas topologique.

La théorie d’Arakelov ([2, 34, 38]) vise à pallier cette asymétrie en proposant une théorie de l’intersection arithmétique sur les schémas réguliers, de type fini sur $\mathbf{Z}$. Dans cette théorie, les objets algébriques (cycles, fibrés vectoriels,…) sont munis de structures supplémentaires définies par la géométrie analytique complexe (courants de Green, métriques hermitiennes,…). Cette théorie a donné lieu à de très beaux développements (par exemple, un théorème de Riemann-Roch arithmétique) et à des applications importante en géométrie diophantienne classique (hauteur de cycles [35, 18], théorèmes d’équidistribution de points de petite hauteur [51], preuve de la conjecture de Bogomolov [55, 60]).

Dans ce travail, nous avons souhaité remettre toutes les places sur le même plan, non pas en inventant une structure algébrique aux places archimédiennes, mais en tâchant de définir une structure analytique aux places ultramétriques. Ce n’est certes pas une idée originale.

La théorie d’Arakelov non archimédienne [11] est une première élaboration. Étant donnée une variété algébrique $X$ sur le corps des fractions $K$ d’un anneau de valuation discrète $R$, ces auteurs travaillent non pas avec un modèle fixé $\mathscr{X}/R$, mais avec le système projectif de tous les modèles. Pour des raisons techniques, ils doivent se restreindre aux modèles réguliers dont la fibre spéciale est un diviseur à croisements normaux stricts. Lorsque la caractéristique résiduelle de $R$ est strictement positive, cela les oblige à admettre l’existence d’une résolution des singularités plongée. Indépendamment de cette restriction (le cas où $R=\mathbf{C}((t))$ est déjà très intéressant), leur théorie reste de nature très algébrique : formes, courants sont définis comme des systèmes compatibles de cycles sur les différents modèles (pour des applications convenables fournies par la théorie de l’intersection).

Dans le cas des courbes, la thèse [54] d’A. Thuillier fournit une théorie d’Arakelov analytique à toutes les places fondée sur les espaces de Berkovich aux places ultramétriques et sur l’analyse complexe aux places archimédiennes. Dans le cas d’une courbe sur un corps ultramétrique, il y développe aussi une théorie du potentiel formellement analogue à celle qui vaut sur les surfaces de Riemann. Le cas de la droite projective a été développé indépendamment par [4, 3]. Ces considérations recoupent aussi les travaux de [50, 36, 37] en dynamique non archimédienne.

En dimension arbitraire, la théorie des mesures sur les espaces de Berkovich (due au premier auteur [22] et raffinée par [39]) fournit une troisième incarnation de cette idée. Si $X$ est propre, de dimension $n$, et si $\bar{L}$ est un fibré en droites sur $X$ muni d’une métrique admissible au sens de [59], on construit une mesure sur l’espace analytique $X^{\mathrm{an}}$ associé à $X/K$ par Berkovich que nous notons $c_{1}(\bar{L})^{n}$. En effet, cette mesure est un analogue de la mesure de même nom lorsque $\bar{L}$ est un fibré en droites hermitien sur une variété analytique compacte de dimension $n$. Sa masse totale est égale au degré $\deg(c_{1}(L)^{n}|X)$ de $X$ pour $L$. Elle donne aussi lieu à des théorèmes d’équidistribution des points de petite hauteur tout à fait analogues à ceux évoqués plus haut dans le cas archimédien ([22, 4, 36, 40, 58]). Voir aussi [23] pour un survol de la théorie qui met en parallèle les cas archimédien et ultramétrique. Dans [40], Gubler montre comment les idées de [55, 60] se transposent et permettent de prouver la conjecture de Bogomolov sur les corps de fonctions lorsque la variété abélienne sous-jacente est « totalement dégénérée ».

Divers mathématiciens se sont aussi intéressé à l’analogue du théorème de Yau (conjecture de Calabi) dans ce contexte. Citons un travail non publié de Kontsevich et Tschinkel (2000). Plus récemment, l’unicité d’une métrique conduisant à une mesure prescrite (théorème de Calabi) est prouvée dans [57] en adaptant la preuve de [12]. L’article [45] construit quelques solutions dans le cas de variétés abéliennes totalement dégénérées. Les articles [19, 20] prouvent l’existence de solutions dans de nombreux cas algébriques.