Soit $X$ un espace $k$-analytique de dimension $n$, et soit $f_{1}\colon X\to T_{1}$,…, $f_{m}\colon X\to T_{m}$ des moments sur $X$, où les tores $T_{i}$ sont tous de dimension $n$.

Soit $\Sigma$ la réunion des $f_{i}^{-1}(S(T_{i}))$. Il résulte du théorème 5.1 de [31] que $\Sigma$ possède une structure naturelle d’espace linéaire par morceaux, qui peut être définie uniquement à l’aide de la structure analytique de $X$, sans référence à l’écriture de $\Sigma$ comme réunion des $f_{i}^{-1}(S(T_{i}))$.

Nous n’allons pas dire ici précisément ce que nous entendons par espace linéaire par morceaux  ; nous renvoyons le lecteur intéressé au chapitre 1 de [9] ou au chapitre 0 de [31]. Indiquons simplement que si $Y$ est un domaine analytique compact de $X$, il existe un recouvrement de $\Sigma\cap Y$ par une famille finie $(P_{j})$ de compacts satisfaisant les conditions suivantes.

• —

  Pour tout $j$, il existe un moment $\varphi_{j}$ défini sur un domaine analytique de $Y$ contenant $P_{j}$, à valeurs dans $\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{N_{j}}$ pour un certain entier $N_{j}$, et tel que $\varphi_{j,{\text{trop}}}$ identifie $P_{j}$ à un polytope de ${\bf G}_{m,{\text{trop}}}^{N_{j}}$  ;

• —

  Pour tout $(j_{1},j_{2})$, l’intersection $P_{j_{1}}\cap P_{j_{2}}$ s’identifie via $\varphi_{j_{1},{\text{trop}}}$ à un polytope de ${\bf G}_{m,{\text{trop}}}^{N_{j_{1}}}$, et via $\varphi_{j_{2},{\text{trop}}}$ à un polytope de ${\bf G}_{m,{\text{trop}}}^{N_{j_{2}}}$  ;

• —

  Pour toute fonction analytique inversible $f$ sur $Y$ et tout indice $j$, l’application composée

  $$\varphi_{j,{\text{trop}}}(P_{j})\simeq P_{j}\stackrel{{\scriptstyle|f|}}{{\rightarrow}}\mathbf{R}^{\times}_{+}$$

  est linéaire par morceaux.