Soit $\omega$ une $(n,n)$-forme (resp. une $(n-1,n)$-forme) à support fortement paracompact dans $X$.

Soit $U$ un ouvert de $X$ et soit $Y$ un domaine analytique fermé de $U$.

La forme $\omega|_{U}$ est à support fortement paracompact dans $U$ en vertu du lemme 3.2.9.

On peut donc définir $\int_{Y}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}$, (resp. $\int_{\partial Y}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}$), et $\int_{Y}\omega$, (resp. $\int_{\partial Y}\omega$) dans le cas intégrable.

Si $Y$ est compact et si $\omega|_{Y}$ est tropicale, ces définitions coïncident avec celles du paragraphe 3.7.

L’intégrale est linéaire dans le sens suivant. Soit $(\omega_{\ell})$ une famille localement finie et dénombrable de formes mesurables de type $(n,n)$ (resp. $(n-1,n)$) à supports fortement paracompacts dans $X$, et soit $(r_{\ell})$ une famille de nombres réels.

La forme $\omega:=\sum r_{\ell}\omega_{\ell}$ est alors bien définie, et à support fortement paracompact dans $X$ : pour le voir, on choisit pour tout $\ell$ un ouvert paracompact $X_{\ell}$ de $X$ contenant $\operatorname{supp}(\omega_{\ell})$.

Chaque composante connexe de $X_{\ell}$ est dénombrable à l’infini. Comme les $X_{\ell}$ sont en nombre dénombrable, chaque composante connexe de $\bigcup X_{\ell}$ est dénombrable à l’infini. Par conséquent, $\bigcup X_{\ell}$ est un ouvert paracompact de $X$ contenant le support de chacune des $\omega_{\ell}$, et a fortiori le support de $\sum r_{\ell}\omega_{\ell}$.

On a alors

$$\int_{X}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}\leq\sum|r_{\ell}|\int_{X}\mathopen{|}{\omega_{\ell}}\mathclose{|}$$

$$\text{(resp.}\;\int_{\partial X}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}\leq\sum|r_{\ell}|\int_{\partial X}\mathopen{|}{\omega_{\ell}}\mathclose{|}\;\;\text{),}$$

et

$$\int_{X}\omega=\sum r_{\ell}\int_{Y}\omega_{\ell}$$

$$\text{(resp.}\;\int_{\partial X}\omega=\sum r_{\ell}\int_{\partial X}\omega_{\ell}\;\;\text{)}$$

dans le cas intégrable.

Pour le voir, on commence par choisir un ouvert paracompact $Z$ de $X$ contenant $\bigcup\operatorname{supp}(\omega_{\ell})$ (on a vu ci-dessus qu’un tel ouvert existe toujours).

Donnons-nous une famille $(V_{i})$ de domaines affinoïdes de $Z$ tels que les $\mathring{V}_{i}$ recouvrent $Z$, et une partition de l’unité lisse $(\lambda_{i})$ sur $Z$, subordonnée à $(\mathring{V}_{i})$.

Fixons $i$. Comme la famille $(\omega_{\ell})$ est localement finie, et comme le support de $\lambda_{i}\omega_{\ell}$ est constitué pour tout $\ell$ de points $x$ tels que $d_{k}(x)=n$ (lemme 3.2.5), il existe en vertu de la proposition 3.4.4, un voisinage affinoïde $U_{i}$ de $\bigcup_{\ell}\operatorname{supp}(\lambda_{i}\omega_{\ell})$ dans $V_{i}$ qui tropicalise $\lambda_{i}$ et toutes les $\omega_{\ell}$ (celles qui sont nulles sur $V_{i}$ sont automatiquement tropicales).

La famille $(\mathring{V}_{i}\,\lambda_{i},U_{i})|$ est un atlas intégral sur $X$ adapté à $\omega$ et à chacune des $\omega_{\ell}$  ; on peut donc calculer toutes les intégrales en jeu au moyen de cet atlas, et le résultat cherché s’ensuit immédiatement.

Soit $\omega$ une forme mesurable de bidegré $(n,n)$ (resp. $(n-1,n)$) telle qu’il existe un atlas intégral $(X_{i},\lambda_{i},T_{i})$ sur $X$, adapté à $\omega$.

Soit $Y$ un domaine analytique fermé de $X$, et soit $Z$ un domaine analytique fermé de $Y$. Supposons que $Z$ contienne (resp. soit un voisinage) de $\operatorname{supp}(\omega)\cap Y$.

On a alors $\int_{Z}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}=\int_{Y}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}$ (resp. $\int_{\partial Z}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}=\int_{\partial Y}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}$), et $\int_{Z}\omega=\int_{Y}\omega$ (resp. $\int_{\partial Z}\omega=\int_{\partial Y}\omega$) dans le cas intégrable.

En effet, les différentes intégrales en jeu peuvent se calculer au moyen des atlas $(X_{i},\lambda_{i},T_{i})|_{Y}$ et $(X_{i},\lambda_{i},T_{i})|_{Z}$, et l’assertion découle dès lors aussitôt de la proposition 3.7.2 (resp. 3.7.3).

Par un raisonnement analogue également fondé sur la proposition 3.7.2 (resp. 3.7.3), on montre que si $Y_{1}$ et $Y_{2}$ sont deux domaines analytiques fermés de $X$, alors :

$\bullet$ $\int_{Y_{1}\cup Y_{2}}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}=\int_{Y_{1}}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}+\int_{Y_{2}}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}-\int_{Y_{1}\cap Y_{2}}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}$

(resp. chacun des quatre termes $\int_{\partial(Y_{1}\cup Y_{2})}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}$, $\int_{\partial Y_{1}}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}$, $\int_{\partial Y_{2}}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}$, $\int_{\partial(Y_{1}\cap Y_{2})}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}$ est majoré par la somme des trois autres)  ;

$\bullet$ $\int_{Y_{1}\cup Y_{2}}\omega=\int_{Y_{1}}\ \omega+\int_{Y_{2}}\omega-\int_{Y_{1}\cap Y_{2}}\omega$

(resp. $\int_{\partial(Y_{1}\cup Y_{2})}\omega=\int_{\partial Y_{1}}\omega+\int_{\partial Y_{2}}\omega-\int_{\partial(Y_{1}\cap Y_{2})}\omega$) dans le cas intégrable.