Soit $X$ un espace $k$-analytique et soit $x$ un point de $X$. Soit $f\colon X\to T$ un moment  ; posons $\xi=f_{\text{trop}}(x)$, et notons $n$ la dimension de $T$.

En vertu du théorème 3.3 de [31], il existe un voisinage analytique compact $U$ de $x$ dans $X$ qui possède la propriété suivante : pour tout voisinage analytique compact $V$ de $x$ dans $U$, les germes de polytopes $(f_{\text{trop}}(U),\xi)$ et $(f_{\text{trop}}(V),\xi)$ coïncident. La dimension $d$ de $f_{\text{trop}}(U)$ en $\xi$ ne dépend pas du choix de $U$ et est appelée la dimension tropicale de $f$ en $x$.

Le théorème 3.3 de [31] affirme également que si $x\notin\partial X$ alors $f_{\text{trop}}(U)$ est purement de dimension $d$ en $\xi$ ; et que si de plus $d=n$ alors $f_{\text{trop}}(U)$ est un voisinage de $\xi$ dans $T_{\text{trop}}$.

Par ailleurs, il donne une majoration (dans le cas général) et une expression explicite (dans le cas sans bord) de l’entier $d$ en fonction d’invariants mettant en jeu le corps résiduel gradué de ${\mathscr{H}}(x)$ – c’est une notion introduite par Temkin dans [53] dont nous n’aurons pas besoin ici. À l’aide de [31], (0.12) et (0.13), il en découle notamment les faits suivants :

• —

  L’entier $d$ est majoré par $d_{k}(x)$  ;

• —

  Si $d=n$, alors $f(x)\in S(T)$  ;

• —

  Inversement, si $f(x)\in S(T)$ et si de plus $x\notin\partial X$, alors $d=n$.