5.6 Produits de courants positifs [01U2]

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5.6 Produits de courants positifs

\lemmname 5.6.1.

Soit $u^{1},\dots,u^{p}$ des fonctions psh lisses sur $X$ , soit $\alpha\in\mathscr{A}^{n-p,n-p}_{\text{c}}(X)$ . Alors, pour tout $j\in\{1,\dots,p\}$ ,

\int_{X}\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{1}\wedge\dots\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{p}\wedge\alpha=\int_{X}u^{j}\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{1}\wedge\dots\wedge\widehat{\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{j}}\wedge\dots\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{p}\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}\alpha.

Démonstration.

Comme les formes de bidegré $(k,k)$ commutent, il suffit de traiter le cas où $j=1$ . Alors

\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}(u^{1}\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{2}\wedge\dots\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{p}\wedge\alpha)\\ =\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{1}\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{2}\wedge\dots\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{p}\wedge\alpha)+u^{1}\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{2}\wedge\dots\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{p}\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}\alpha,

puis

	$\displaystyle\hskip-28.45274pt\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}(u^{1}\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{2}\wedge\dots\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{p}\wedge\alpha)\hskip-170.71652pt$
		$\displaystyle=\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{1}\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{2}\wedge\dots\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{p}\wedge\alpha)-\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{1}\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{2}\wedge\dots\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{p}\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}\alpha$
		$\displaystyle\quad+\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}u^{1}\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{2}\wedge\dots\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{p}\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}\alpha-u^{1}\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{2}\wedge\dots\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{p}\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}\alpha$
		$\displaystyle=\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{1}\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{2}\wedge\dots\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{p}\wedge\alpha)-u^{1}\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{2}\wedge\dots\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{p}\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}\alpha.$

L’assertion résulte alors de la formule de Green. ∎

\propname 5.6.2.

Soit $\alpha\in\mathscr{A}^{n-p,n-p}_{\text{c}}(X)$ une forme lisse, soit $V$ un voisinage compact de son support. Il existe un nombre réel $C$ tel que pour toutes fonctions psh lisses $u^{1},\dots,u^{p}$ sur $X$ et toute fonction lisse $u^{0}$ sur $X$ , on ait

\left|{\int_{X}u^{0}\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{1}\wedge\dots\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{p}\wedge\alpha}\right|\leq C\mathopen{\|}{u^{0}}\mathclose{\|}_{V}\dots\mathopen{\|}{u^{p}}\mathclose{\|}_{V}.

Démonstration.

La preuve est par récurrence sur $p$ . Soit $U$ un voisinage du support de $\alpha$ qui est contenu dans $\operatorname{Int}(X)\cap\mathring{V}$ .

Définissons une suite $(\alpha_{0},\dots,\alpha_{p})$ de formes fortement positives à support contenu dans $U$ de la façon suivante. Considérons des formes $\beta_{0}$ et $\beta^{\prime}_{0}$ , fortement positives et à support contenu dans $U$ telles que $\alpha=\beta_{0}-\beta^{\prime}_{0}$ ; posons $\alpha_{0}=\beta_{0}+\beta^{\prime}_{0}$ . Soit $j\in\{1,\dots,p\}$ tel que $\alpha_{j-1}$ est construite. Considérons des formes $\beta_{j}$ et $\beta^{\prime}_{j}$ , fortement positives, à support compact contenu dans $U$ , telles que $\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}\alpha_{j-1}=\beta_{j}-\beta^{\prime}_{j}$ et posons $\alpha_{j}=\beta_{j}+\beta^{\prime}_{j}$ .

On commence par écrire

\int_{X}u^{0}\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{1}\wedge\dots\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{p}\wedge\alpha\\ =\int_{X}u^{0}\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{1}\wedge\dots\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{p}\wedge\beta_{0}-\int_{X}u^{0}\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{1}\wedge\dots\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{p}\wedge\beta^{\prime}_{0}.

Le produit des formes fortement positives $\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{1},\dots,\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{p},\beta_{0}$ est une forme positive et son support est contenu dans $U$ . Par suite, le premier terme est majoré par

\sup_{U}(u^{0})\int_{X}\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{1}\wedge\dots\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{p}\wedge\beta_{0}.

Un raisonnement analogue avec l’autre terme, ainsi qu’avec $-u^{0}$ , fournit la majoration

\left|{\int_{X}u^{0}\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{1}\wedge\dots\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{p}\wedge\alpha}\right|\leq\mathopen{\|}{u^{0}}\mathclose{\|}_{U}\int_{X}\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{1}\wedge\dots\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{p}\wedge\beta_{0}.

Appliquons alors le lemme précédent ; on obtient

\left|{\int_{X}u^{0}\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{1}\wedge\dots\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{p}\wedge\alpha}\right|\leq\mathopen{\|}{u^{0}}\mathclose{\|}_{U}\int_{X}u^{1}\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{2}\wedge\dots\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}\alpha.

Par récurrence, il vient

\left|{\int_{X}u^{0}\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{1}\wedge\dots\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{p}\wedge\alpha}\right|\leq\mathopen{\|}{u^{0}}\mathclose{\|}_{U}\mathopen{\|}{u^{1}}\mathclose{\|}_{V}\dots\mathopen{\|}{u^{p}}\mathclose{\|}_{V}\int_{X}\alpha_{p},

d’où la proposition puisque $U\subset V$ . ∎

\definame 5.6.3.

On dit qu’une fonction $u$ sur un espace analytique $X$ est localement psh-approchable si tout point de $X$ possède un voisinage $U$ sur lequel $u$ est limite uniforme de fonctions psh lisses.

On dit qu’une fonction $u$ est localement approchable si elle est localement la différence de deux fonctions localement psh-approchables.

Les fonctions localement approchables forment un sous-faisceau en $\mathbf{R}$ -espaces vectoriels du faisceau des fonctions continues. Il est engendré par le faisceau des fonctions localement psh-approchables qui en forme un sous-faisceau en cônes réels.

\remaname 5.6.4.

Je ne sais pas si toute fonction continue psh est localement psh-approchable, ni même localement approchable. Je ne suis même pas sûr que ce soit vrai : les techniques de régularisation standard (du côté réel) laissent penser que c’est le cas si $u$ est tropicale et psh (mais encore, passer d’un espace vectoriel à un espace PL ne semble trivial), elle est localement approchable, mais le cas général résiste.

Dans le cas des courbes, je crois avoir prouvé que si $u$ est psh, et si $K$ est un compact formé de points de type II ou III, alors $u$ est limite uniforme sur $K$ de fonctions psh lisses avec pôles.

\coroname 5.6.5.

Soit $u^{1},\dots,u^{p}$ des fonctions localement psh-approchables sur $X$ .

Alors, il existe un unique courant positif

\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{1}\wedge\dots\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{p}

sur $X$ tel que pour tout ouvert $U$ , toute forme lisse $\alpha\in\mathscr{A}^{n-p,n-p}_{\text{c}}(U)$ , et toute famille $(u^{j}_{n})$ de suites de fonctions lisses psh sur $U$ telle que $u^{j}_{n}$ converge uniformément vers $u^{j}|_{U}$ ,

\langle\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{1}\wedge\dots\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{p},\alpha\rangle=\lim_{n}\int_{X}\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{1}_{n}\wedge\dots\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{p}_{n}\wedge\alpha.

Démonstration.

Soit $U$ un ouvert de $X$ , soit $\alpha\in\mathscr{A}^{n-p,n-p}_{\text{c}}(U)$ et soit $(u^{j}_{n})$ une famille de suites de fonctions lisses psh sur $U$ telle que $u^{j}_{n}$ converge uniformément vers $u^{j}|_{U}$ . Il découle de la proposition précédente que la suite $(\int_{X}\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{1}_{n}\wedge\dots\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{p}_{n}\wedge\alpha)_{n}$ est de Cauchy, donc converge. Sa limite ne dépend pas des suites $(u^{j}_{n})$ choisies : considérons une autre famille $(v^{j}_{n})$ de suites approximantes et construisons la suite dont les termes pairs sont fournis par les suites $(u^{j}_{n})$ et les termes impairs par les suites $(v^{j}_{n})$ ; cette suite est encore de Cauchy, donc converge. Il en résulte que $(\int_{X}\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{1}_{n}\wedge\dots\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{p}_{n}\wedge\alpha)_{n}$ et $(\int_{X}\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}v^{1}_{n}\wedge\dots\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}v^{p}_{n}\wedge\alpha)_{n}$ ont même limite. Notons $T_{U}(\alpha)$ cette limite.

L’application $\alpha\mapsto T_{U}(\alpha)$ est linéaire. Supposons que $\alpha$ soit faiblement positive. Pour tout $n$ , les formes $\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{1}_{n},\dots,\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{p}_{n}$ sont fortement positives (elles sont de type $(1,1)$ ), donc $\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{1}_{n}\wedge\dots\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{p}_{n}\wedge\alpha$ est faiblement positive. En particulier, $\int_{X}\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{1}_{n}\wedge\dots\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{p}_{n}\wedge\alpha\geq 0$ pour tout $n$ , donc $T_{U}(\alpha)\geq 0$ . Il résulte alors du lemme 5.4.4 que l’application $\alpha\mapsto T_{U}(\alpha)$ est un courant positif.

Soit $V$ un ouvert de $X$ sur lequel les fonctions $u^{j}$ sont localement psh-approchables. Par construction, les restrictions à $U\cap V$ des courants $T_{U}$ et $T_{V}$ coïncident avec le courant $T_{U\cap V}$ .

Puisque $X$ est recouvert par des ouverts sur lesquels les fonctions $u^{j}$ sont localement psh-approchables, il existe un unique courant $T$ sur $X$ dont la restriction à $U$ est égale à $T_{U}$ , pour tout ouvert $U$ sur lequel les fonctions $u^{j}$ sont localement psh-approchables. ∎

\coroname 5.6.6.

Soit $X$ un espace analytique. Il existe un unique morphisme $p$ -linéaire symétrique

(u^{1},\dots,u^{p})\mapsto\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{1}\wedge\dots\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{p}

défini sur le faisceau des fonctions continues localement approchables à valeurs dans le faisceau des mesures sur $\operatorname{Int}(X)$ , et qui prolonge l’application précédemment définie lorsque $u^{1},\dots,u^{p}$ sont localement psh-approchables.

\definame 5.6.7.

Si $u$ est une fonction localement approchable sur $X$ , la mesure $(\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u)^{n}$ est appelée mesure de Monge-Ampère de $u$ , et notée $\operatorname{MA}(u)$ .

Si $u$ est localement psh-approchable, cette mesure est positive (corollaire 5.6.5).

5.6.8

Dans [5], Bedford et Taylor définissent $\prod(\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}(u^{j}))$ par récurrence, si $u^{j}$ est psh localement bornée. Plus généralement, si $T$ est un courant positif fermé (symétrique, éventuellement), on pose $\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u\wedge T=\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}(uT)$ . Autrement dit, on pose $\langle\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}(uT),\alpha\rangle=\langle uT,\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}\alpha\rangle$ . Comme $T$ est un courant positif, l’application $f\mapsto\langle fT,\alpha\rangle$ est une mesure (signée) à support compact sur $X$ , donc s’étend aux fonctions mesurables bornées. L’application $\alpha\mapsto\langle uT,\alpha\rangle$ est alors un courant sur $X$ , positif si $u$ est positive. On définit $\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}(uT)$ comme le courant $\alpha\mapsto\langle uT,\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}\alpha\rangle$ . Pour prouver qu’il est positif, il faudrait démontrer que $u$ est limite décroissante de fonctions psh lisses. Il est aussi fermé (c’est évident).