6.2.7 [01VC]

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6.2.7

Si $X$ est un espace $k$ -analytique, on définit ${\rm PL}(X)$ comme le groupe abélien des fonctions continues à valeurs réelles $f$ sur $X$ possédant la propriété suivante : il existe un G-recouvrement $(X_{i})$ de $X$ par des domaines analytiques relativement stricts et, pour tout $i$ , un fonction holomorphe inversible $f_{i}$ sur $X$ telle que $f|_{X_{i}}=\log\mathopen{|}{f_{i}}\mathclose{|}$ .

\lemmname 6.2.8.

L’ensemble ${\rm PL}(X)$ est un sous-groupe du groupe des fonctions numériques continue sur $X$ . Si $u$ et $v$ sont deux fonctions PL, $\max(u,v)$ et $\min(u,v)$ sont PL.

Démonstration.

La fonction nulle est évidemment PL. Soit $(X_{i})$ un G-recouvrement de $X$ par des domaines analytiques relativement stricts et, pour tout $i$ , soit $f_{i}$ et $g_{i}$ des fonctions inversibles sur $X_{i}$ telles que $u|_{X_{i}}=\log\mathopen{|}{f_{i}}\mathclose{|}$ et $v|_{X_{i}}=\log\mathopen{|}{g_{i}}\mathclose{|}$ . La fonction $u+v$ est égale à $\log\mathopen{|}{f_{i}g_{i}}\mathclose{|}$ sur $X_{i}$ , ce qui prouve qu’elle est PL. De même, la fonction $-u$ est égale à $\log\mathopen{|}{f_{i}^{-1}}\mathclose{|}$ sur $X_{i}$ , donc est PL.

Notons $X_{i}^{+}$ et $X_{i}^{-}$ les domaines analytiques de $X_{i}$ définis par $\mathopen{|}{f_{i}}\mathclose{|}\geq\mathopen{|}{g_{i}}\mathclose{|}$ et $\mathopen{|}{f_{i}}\mathclose{|}\leq\mathopen{|}{g_{i}}\mathclose{|}$ respectivement. Sur $X_{i}^{+}$ , on a $\max(u,v)=\log\mathopen{|}{f_{i}}\mathclose{|}$ et $\min(u,v)=\log\mathopen{|}{g_{i}}\mathclose{|}$ . sur $X_{i}^{-}$ , on a $\max(u,v)=\log\mathopen{|}{g_{i}}\mathclose{|}$ et $\min(u,v)=\log\mathopen{|}{f_{i}}\mathclose{|}$ . Il en résulte que $\max(u,v)$ et $\min(u,v)$ sont PL. ∎

\definame 6.2.9.

Soit $X$ un espace $k$ -analytique et soit $\bar{E}$ un fibré vectoriel métrisé sur $X$ . On dit qu’une base $(e_{1},\ldots,e_{n})$ de $E$ est orthonormée si

\mathopen{\|}{(\sum f_{i}e_{i})(x)}\mathclose{\|}=\max\mathopen{|}{f_{i}(x)}\mathclose{|}

(6.2.9.1)

pour tout domaine analytique $Y$ de $X$ , toute famille $(f_{i})$ de fonctions analytiques sur $Y$ et tout $x\in Y$ .

On dit que $\bar{E}$ est PL (ou que la métrique de $E$ est PL) s’il existe un G-recouvrement $(X_{i})$ relativement strict de $X$ tel que $\bar{E}|_{X_{i}}$ admette pour tout $i$ une base orthonormée.

\exemname 6.2.10 (Métriques formelles).

Soit $E$ un fibré vectoriel sur un espace analytique $X$ . Considérons un modèle formel $(\mathfrak{X},\mathfrak{E})$ de $(X,E)$ : cela signifie que $\mathfrak{X}$ est $k^{\circ}$ -schéma formel, plat et localement topologiquement de type fini muni d’un isomorphisme $\mathfrak{X}_{\eta}\simeq X$ et que $\mathfrak{E}$ est un fibré vectoriel sur $\mathfrak{X}$ muni d’un isomorphisme $\mathfrak{E}_{\eta}\simeq E$ . On lui associe une métrique PL sur $E$ de la façon suivante.

Soit $(\mathfrak{U}_{i})$ un recouvrement formel de $\mathfrak{X}$ qui trivialise $\mathfrak{E}$ et soit, pour tout $i$ , une trivialisation $(e_{1},\dots,e_{n})$ de $\mathfrak{E}|_{\mathfrak{U}_{i}}$ . Pour tout $i$ , $\mathfrak{U}_{i,\eta}$ est un domaine analytique de $X$ .

Pour toute section $s$ de $E$ sur le domaine analytique fermé $\mathfrak{U}_{i,\eta}$ de $X$ , il existe une unique famille $(f_{1},\dots,f_{n})$ de fonctions holomorphes sur $\mathfrak{U}_{i,\eta}$ telles que $s=\sum f_{i}e_{i}$ , et l’on pose $\mathopen{\|}{s}\mathclose{\|}=\max(\mathopen{|}{f_{1}}\mathclose{|},\dots,\mathopen{|}{f_{n}}\mathclose{|})$ ; c’est une fonction continue.

Si $(e^{\prime}_{1},\dots,e^{\prime}_{n})$ est une autre trivialisation de $\mathfrak{E}|_{\mathfrak{U}_{i}}$ , il existe une matrice inversible $A\in\operatorname{GL}_{n}(\mathfrak{U}_{i})$ telles que $(e_{1},\dots,e_{n})=(e^{\prime}_{1},\dots,e^{\prime}_{n})\cdot A$ . Si $s=\sum f_{i}e_{i}=\sum f^{\prime}_{i}e^{\prime}_{i}$ , cela entraîne la relation $(f^{\prime}_{1},\dots,f^{\prime}_{n})^{\mathrm{t}}=A(f_{1},\dots,f_{n})^{\mathrm{t}}$ . Pour tout point $x\in\mathfrak{U}_{i,\eta}$ , $\mathopen{\|}{A(x)}\mathclose{\|}=\mathopen{\|}{A^{-1}(x)}\mathclose{\|}=1$ , si bien que l’on a $\max(\mathopen{|}{f_{i}}\mathclose{|})=\max(\mathopen{|}{f^{\prime}_{i}}\mathclose{|})$ . Il en résulte que la définition donnée de $\mathopen{\|}{s}\mathclose{\|}$ ne dépend pas du choix de la trivialisation $(e_{1},\dots,e_{n})$ .

Cela entraîne aussi que ces différentes prescriptions coïncident sur les domaines analytiques $\mathfrak{U}_{i,\eta}\cap\mathfrak{U}_{j,\eta}$ , d’où un morphisme de faisceau de $E$ dans l’espace des fonctions à valeurs réelles sur $X$ .

Comme les domaines $\mathfrak{U}_{i,\eta}$ forment un G-recouvrement de $X$ , tout point de $X$ possède un voisinage qui est réunion finie de certains de ces $\mathfrak{U}_{i,\eta}$ . Par suite, l’image de ce morphisme est contenu dans le faisceau $\mathscr{C}^{0}_{X_{G}}$ .

C’est une métrique PL sur $E$ . De telles métriques seront appelées formelles.