6.6 Fibré résiduel d’un fibré PL [01WD]

Original official author HTML, exact retained edition. Historical TeX conversion verdicts remain unchanged. Cited-edition alignment and mathematical self-containment are not assessed.

Complete original source context · Original author HTML

6.6 Fibré résiduel d’un fibré PL

6.6.1

Soit $\bar{E}$ un fibré vectoriel PL sur un germe $(X,x)$ .

Choisissons un G-recouvrement fini et relativement strict $((X_{\alpha},x))$ qui déploie $\bar{E}$ . Par le procédé de réduction des cocycles décrit au paragraphe (6.5.4), on définit un fibré vectoriel sur $\widetilde{(X,x)}$ , déployé par $(\widetilde{(X_{\alpha},x)}))$ . Il est, à isomorphisme canonique près, indépendant du recouvrement $((X_{\alpha},x))$ et du cocycle utilisé. On le notera $\mathsf{E}(x)$ , ou plus simplement $\mathsf{E}$ . On dit que c’est le fibré résiduel de $\bar{E}$ en $x$

La formation du fibré résiduel commute aux constructions de l’algèbre linéaire : somme directe, produit tensoriel,…

6.6.2 Liens entre un fibré métrisé ${\rm PL}$ et son fibré résiduel

Soit $X$ un espace $k$ -analytique, soit $\bar{E}$ un fibré métrisé PL sur $X$ et soit $x$ un point de $X$ .

Pour tout domaine analytique $(Y,x)$ de $(X,x)$ , on note $\bar{E}^{\circ}(Y,x)$ le sous-module de $\bar{E}(Y,x)$ formé des sections dont la norme est partout majorée par $1$ et $E^{\flat}(Y,x)$ le quotient de $\bar{E}^{\circ}(Y,x)$ par le sous-groupe des sections dont la norme en $x$ est strictement majorée par 1.

On suppose que $\mathscr{O}_{X,x}\to{\mathscr{H}}(x)$ est d’image dense et que le fibré vectoriel $E$ (sans métrique) est trivialisable au voisinage de $x$ . Notons que ces deux conditions sont toujours satisfaites dès que le germe $(X,x)$ est bon.

Fixons une base $\mathfrak{b}$ de $E$ au voisinage de $x$ . Soit $(X_{\alpha},x)$ un G-recouvrement fini de $(X,x)$ déployant $\bar{E}$ . Pour tout $\alpha$ , il existe une base orthonormée ${\mathfrak{b}}_{\alpha}$ de $\bar{E}$ sur $(X_{\alpha},x)$ ; soit $(g_{\alpha,\beta})$ le cocycle sur $(X,x)_{\mathrm{G}}$ , à coefficients dans $\operatorname{GL}_{n}^{\circ}$ défini par la famille $(\mathfrak{b}_{\alpha})$ .

Par densité de l’image de $\mathscr{O}_{X,x}$ dans ${\mathscr{H}}(x)$ et par trivialité du fibré vectoriel $E$ au voisinage de $x$ , on peut supposer que l’élément de $\operatorname{GL}_{n}^{0}(X_{\alpha},x)$ qui envoie $\mathfrak{b}$ sur $\mathfrak{b}_{\alpha}$ appartient à $\operatorname{GL}_{n}(\mathscr{O}_{X,x}^{\sharp})$ ; dans ce cas chacun des $g_{\alpha,\beta}$ appartient à $\operatorname{GL}_{n}(\mathscr{O}_{X,x}^{\sharp})$ .

Soit $\bar{E}^{\prime}$ un fibré métrisé PL sur $X$ tel que $E^{\prime}$ soit trivialisable au voisinage de $x$ . Il peut lui-aussi être défini par un cocycle constitué de matrices appartenant à $\operatorname{GL}_{n}(\mathscr{O}_{X,x}^{\sharp})$ . Il résulte alors de 6.5.5, B) que les fibrés résiduels ${\mathsf{E}}$ et $\mathsf{E}^{\prime}$ de $\bar{E}$ et $\bar{E}^{\prime}$ en $x$ sont isomorphes si et seulement si les fibrés métrisés $\bar{E}$ et $\bar{E}^{\prime}$ sont isomorphes au voisinage de $x$ . En particulier, $\bar{E}$ est trivial au voisinage de $x$ si et seulement si le fibré résiduel ${\mathsf{E}}$ de $\bar{E}$ en $x$ est trivial.

6.6.3 Sections du fibré résiduel

Conservons les notations et hypothèses précédentes. Soit $(\gamma_{\alpha,\beta})$ la réduction du cocycle $(g_{\alpha,\beta})$ . Soit $e$ une section de $\bar{E}^{\circ}$ sur $(X,x)$ . Elle consiste en la donnée d’une famille $(w_{\alpha})$ , où $w_{\alpha}\in\mathscr{O}_{X_{\alpha},x}^{\circ}$ pour tout $\alpha$ , et où $w_{\beta}=g_{\alpha,\beta}w_{\alpha}$ pour tout $(\alpha,\beta)$ .

Par réduction, cette famille donne lieu à une famille $(v_{\alpha})$ , où le vecteur $v_{\alpha}$ appartient à $\mathscr{O}_{\widetilde{(X,x)}}(\widetilde{X_{\alpha},x})$ pour tout $\alpha$ et où $v_{\beta}=v_{\alpha}\gamma_{\alpha,\beta}$ pour tout $(\alpha,\beta)$ . Elle définit donc une section sur $\widetilde{(X,x)}$ du fibré résiduel ${\mathsf{E}}$ ; elle ne dépend que de $e$ et on la note $\tilde{e}(x)$ ou $\tilde{e}$ ; c’est la réduction de $e$ en $x$ . Il résulte de la construction que si $e$ et $e^{\prime}$ sont deux sections de $\bar{E}^{\circ}$ sur $(X,x)$ alors $\tilde{e}=\tilde{e^{\prime}}$ si et seulement si $\mathopen{\|}{(e-e^{\prime})(x)}\mathclose{\|}<1$ . Par conséquent, l’application $e\mapsto\tilde{e}$ induit une injection $\bar{E}^{\flat}(X,x)\hookrightarrow{\mathsf{E}}(\widetilde{X,x)})$ .

En vertu de 6.5.5, C), cette injection est surjective, d’où un isomorphisme $\mathsf{E}^{\flat}(X,x)\simeq{\mathsf{E}}(\widetilde{X,x})$ .

\lemmname 6.6.4.

Une famille $(e_{1},\ldots,e_{n})$ de sections de $\bar{E}^{\circ}$ sur $(X,x)$ est une base orthonormée de $\bar{E}$ si et seulement si leurs réductions $\tilde{e}_{i}$ en $x$ forment une base des sections globales du fibré résiduel ${\mathsf{E}}$ de $\bar{E}$ en $x$ .

Démonstration.

L’énoncé à prouver étant G-local sur $(X,x)$ , on peut supposer que le fibré métrisé $\bar{E}$ est trivial, c’est-à-dire égal à $\mathscr{O}_{X}^{n}$ avec sa métrique standard. Dans ce cas ${\mathsf{E}}\simeq\mathscr{O}_{\widetilde{(X,x)}}^{n}$ . La famille $(e_{1},\ldots,e_{n})$ correspond alors à une matrice $g\in\operatorname{M}_{n}(\mathscr{O}_{X}^{\circ}(X,x))$ et la famille $(\tilde{e_{1}},\ldots,\tilde{e_{n}})$ à la matrice réduite $\tilde{g}(x)\in\operatorname{M}_{n}(\mathscr{O}_{\widetilde{(X,x)}}(\widetilde{X,x}))$ . La famille $(e_{1},\ldots,e_{n})$ est une base orthonormée de $\bar{E}$ si et seulement si $\mathopen{|}{\det g}\mathclose{|}=1$ sur $(X,x)$ . Cela revient à demander que $\det\tilde{g}$ soit une fonction inversible sur $\widetilde{(X,x)}$ et donc que $(\tilde{e_{1}},\ldots,\tilde{e_{n}})$ soit une base de ${\mathsf{E}}$ , comme annoncé. ∎

6.6.5 Fibré métrisé PL de fibré résiduel prescrit

Soit $\mathsf{F}$ un fibré vectoriel sur $\widetilde{(X,x)}$ ; choisissons un cocycle $(\gamma_{\alpha,\beta})$ qui définit $\mathsf{F}$ . En vertu de 6.5.5, A), ce cocycle se relève en un cocycle $(g_{\alpha,\beta})$ sur $(X,x)_{\text{G}}$ , à coefficients dans $\operatorname{GL}_{n}^{\circ}$ tel que $g_{\alpha,\beta}$ appartienne à $\operatorname{GL}_{n}(\mathscr{O}_{X,x}^{\sharp})$ pour tout $(\alpha,\beta)$ . Soit $\bar{E}$ le fibré métrisé PL défini par le cocycle $(g_{\alpha,\beta})$ sur $(X,x)$ . Le fibré $E$ possède une base au voisinage de $x$ : il suffit pour le voir de fixer $\alpha_{0}$ et de considérer la cochaîne valant $(g_{\alpha_{0},\beta})$ sur $(X_{\beta},x)$ . Par construction, ${\mathsf{E}}(x)=\mathsf{F}$ .

6.6.6

Résumons : soit $X$ un espace $k$ -analytique et soit $x$ un point de $X$ . Supposons que $\mathscr{O}_{X,x}\to{\mathscr{H}}(x)$ soit d’image dense. Alors, $\bar{E}\mapsto{\mathsf{E}}$ induit une bijection entre l’ensemble des classes d’isomorphie de fibrés métrisés PL de rang $n$ sur $(X,x)$ dont les fibrés sous-jacents sont triviaux et l’ensemble des classes d’isomorphie de fibrés vectoriels de rang $n$ sur $\widetilde{(X,x)}$ .

6.6.7 Fonctorialité des constructions

Soit $(X,x)$ un germe d’espace analytique et soit $\bar{E}$ un fibré métrisé PL sur $(X,x)$ . Soit $\varphi\colon(Y,y)\to(X,x)$ un morphisme de germes. L’image réciproque $\bar{F}=\varphi^{*}\bar{E}$ est un fibré métrisé PL sur $(Y,y)$ . Il résulte immédiatement de nos constructions que $\mathsf{F}(y)$ est l’image réciproque de ${\mathsf{E}}(x)$ par le morphisme naturel d’espaces localement annelés $\widetilde{(Y,y)}\to\widetilde{(X,x)}$ .

Notons deux cas particuliers importants :

—

Si $(Y,x)$ est un domaine analytique fermé de $(X,x)$ , $\mathsf{F}(x)$ est la restriction de $\mathsf{E}(x)$ à l’ouvert $\widetilde{(Y,x)}$ de $\widetilde{(X,x)}$ ;
—

Si $(Y,x)$ est un fermé de Zariski de $(X,x)$ , $\widetilde{(Y,x)}=\widetilde{(X,x)}$ ) et $\mathsf{F}(x)=\mathsf{E}(x)$ .

\exemname 6.6.8 (Le cas d’un fibré formel).

Soient $X$ un espace $k$ -analytique et $E$ un fibré vectoriel sur $X$ . Munisons-le de la métrique formelle associée à un modèle $(\mathfrak{X},\mathfrak{E})$ . Soit $x\in X$ et soit $V$ la $\tilde{k}$ -variété $\overline{\{\pi(x)\}}$ (munie de sa structure réduite) ; le lemme 6.5.1 assure que $\widetilde{(X,x)}=\mathbf{P}_{\widetilde{{\mathscr{H}}(x)}/\tilde{k}}\{V\}$ .

Le couple $(V,\mathfrak{E}|_{V})$ est un prémodèle de ${\mathsf{E}}(x)$ . Pour le voir, on choisit une famille finie $(\mathfrak{U}_{i})$ d’ouverts affines formels de $\mathfrak{X}$ qui rencontrent $V$ , le recouvrent et tels que sur chacun des $\mathfrak{U}_{i}$ , le fibré $\mathfrak{E}$ possède une base $e_{i}$ . Remarquons que $x\in\mathfrak{U}_{i,\eta}$ pour tout $i$ (puisque chacun des $\mathfrak{U}_{i}$ contient le point générique de $V$ ) et que les $(\mathfrak{U}_{i,\eta},x)$ recouvrent le germe $(X,x)$ : cela provient du fait que la réunion des $\mathfrak{U}_{i,\eta}$ contient $\pi^{-1}(V)$ , qui est un voisinage ouvert de $x$ .

Pour tout $i$ , notons $U_{i}$ l’ouvert affine $\mathfrak{U}_{i}\cap V$ de $V$ . Pour tout couple $(i,j)$ , il existe une matrice inversible $A_{ij}$ sur $\mathfrak{U}_{i}\cap\mathfrak{U}_{j}$ telle que $e_{i}=A_{ij}e_{j}$ . Notons $g_{ij}$ sa restriction à $U_{i}\cap U_{j}$ ; le fibré $\mathfrak{E}|_{V}$ est défini par le cocycle $(g_{ij})$ .

On peut voir chacune des $A_{ij}$ comme une matrice analytique de norme $\leq 1$ , ainsi que son inverse, sur $\mathfrak{U}_{i,\eta}\cap\mathfrak{U}_{j,\eta}$ . On a alors $\widetilde{A_{ij}(x)}=g_{ij}$ , à condition de voir la matrice $g_{ij}$ comme une matrice à coefficients dans le corps $\tilde{k}(V)=\tilde{k}(\pi(x))\subset\widetilde{{\mathscr{H}}(x)}$ .

Il resulte alors de la définition du fibré résiduel que ${\mathsf{E}}(x)$ est induit par le cocycle $(g_{i,j})$ .

En vertu du lemme 6.5.1, $\widetilde{(\mathfrak{U}_{i,\eta},x)}$ est égal à $\mathbf{P}_{\widetilde{{\mathscr{H}}(x)}/\tilde{k}}\{U_{i}\}$ pour tout $i$ ; par conséquent, l’image réciproque de $\mathfrak{E}|_{V}$ sur $\widetilde{(X,x)}=\mathbf{P}_{\widetilde{{\mathscr{H}}(x)}/\tilde{k}}\{V\}$ coïncide avec ${\mathsf{E}}(x)$ , ce qu’on souhaitait établir.

\exemname 6.6.9 (Fibré sur une variété propre en valuation triviale).

Supposons que $|k^{\times}|=\{1\}$ , soit $X$ une $k$ -variété algébrique et soit $E$ un fibré vectoriel sur $X$ ; notons $E^{\text{an}}$ le fibré vectoriel sur $X^{\text{an}}$ déduit de $E$ . On peut voir la variété $X$ comme un schéma formel localement topologiquement de type fini $\mathfrak{X}$ sur $k^{\circ}=k$ et $E$ comme un fibré vectoriel formel $\mathfrak{E}$ sur $\mathfrak{X}$ .

Supposons de plus que $X$ soit propre. On dispose alors d’isomorphismes canoniques

\mathfrak{X}_{\eta}\simeq X^{\text{an}}\;\text{et}\;\mathfrak{E}_{\eta}\simeq E^{\text{an}}.

Par conséquent, $E^{\text{an}}$ hérite d’une métrique PL naturelle. Si $x$ est un point de $X^{\text{an}}\simeq\mathfrak{X}_{\eta}$ et si $\bf x$ désigne son image sur $X\simeq\mathfrak{X}_{s}$ alors $(\overline{\{\bf x\}},E|_{\overline{\{\bf x\}}})$ est un prémodèle de $\widetilde{E^{\text{an}}}(x)$ (où $\overline{\{\bf x\}}$ est muni de sa structure réduite).

Notons un cas particulier important : si $X$ est intègre, si $\xi$ désigne son point générique, et si l’on note $x$ le point de $X^{\text{an}}$ correspondant à la flèche $\operatorname{Spec}(k(\xi),|.|_{0})\to X$ , alors $(X,E)$ est un modèle du fibré résiduel de $\overline{E^{\text{an}}}$ en $x$ .