Soit $U$ un ouvert de $X$, soit $\alpha\in\mathscr{A}^{n-p,n-p}_{\text{c}}(U)$ et soit $(u^{j}_{n})$ une famille de suites de fonctions lisses psh sur $U$ telle que $u^{j}_{n}$ converge uniformément vers $u^{j}|_{U}$. Il découle de la proposition précédente que la suite $(\int_{X}\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{1}_{n}\wedge\dots\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{p}_{n}\wedge\alpha)_{n}$ est de Cauchy, donc converge. Sa limite ne dépend pas des suites $(u^{j}_{n})$ choisies : considérons une autre famille $(v^{j}_{n})$ de suites approximantes et construisons la suite dont les termes pairs sont fournis par les suites $(u^{j}_{n})$ et les termes impairs par les suites $(v^{j}_{n})$ ; cette suite est encore de Cauchy, donc converge. Il en résulte que $(\int_{X}\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{1}_{n}\wedge\dots\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{p}_{n}\wedge\alpha)_{n}$ et $(\int_{X}\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}v^{1}_{n}\wedge\dots\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}v^{p}_{n}\wedge\alpha)_{n}$ ont même limite. Notons $T_{U}(\alpha)$ cette limite.

L’application $\alpha\mapsto T_{U}(\alpha)$ est linéaire. Supposons que $\alpha$ soit faiblement positive. Pour tout $n$, les formes $\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{1}_{n},\dots,\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{p}_{n}$ sont fortement positives (elles sont de type $(1,1)$), donc $\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{1}_{n}\wedge\dots\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{p}_{n}\wedge\alpha$ est faiblement positive. En particulier, $\int_{X}\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{1}_{n}\wedge\dots\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}u^{p}_{n}\wedge\alpha\geq 0$ pour tout $n$, donc $T_{U}(\alpha)\geq 0$. Il résulte alors du lemme 5.4.4 que l’application $\alpha\mapsto T_{U}(\alpha)$ est un courant positif.

Soit $V$ un ouvert de $X$ sur lequel les fonctions $u^{j}$ sont localement psh-approchables. Par construction, les restrictions à $U\cap V$ des courants $T_{U}$ et $T_{V}$ coïncident avec le courant $T_{U\cap V}$.

Puisque $X$ est recouvert par des ouverts sur lesquels les fonctions $u^{j}$ sont localement psh-approchables, il existe un unique courant $T$ sur $X$ dont la restriction à $U$ est égale à $T_{U}$, pour tout ouvert $U$ sur lequel les fonctions $u^{j}$ sont localement psh-approchables. ∎