6.2.1 Fibrés vectoriels [01V5]

Original official author HTML, exact retained edition. Historical TeX conversion verdicts remain unchanged. Cited-edition alignment and mathematical self-containment are not assessed.

Complete original source context · Original author HTML

6.2.1 Fibrés vectoriels

Un fibré vectoriel sur un espace $k$ -analytique $X$ est un faisceau en modules localement libres de rang fini sur le site annelé $X_{\rm G}$ (à savoir $X$ muni de la G-topologie et du faisceau structural).

Il définit par restriction à l’espace topologique $X$ un faisceau en $\mathscr{O}_{X}$ -modules, dont on ne sait pas s’il est en général localement libre. C’est toutefois toujours le cas lorsque $X$ est bon, et notamment sans bord ; on dispose même plus précisément dans cette situation d’une équivalence entre la catégorie des $\mathscr{O}_{X_{\rm G}}$ -modules localement libres de rang fini et celle des $\mathscr{O}_{X}$ -modules localement libres de rang fini ([8], prop. 1.3.4).

Soit $X$ un espace analytique et soit $E$ un fibré vectoriel sur $X$ . Notons $\mathbf{V}(E)$ l’espace total de $E$ : c’est un espace analytique muni d’un morphisme $\pi$ vers $X$ dont les sections au-dessus d’un domaine analytique de $X$ s’identifient aux sections de $E$ sur ce domaine. Si $E=\mathscr{O}_{X}^{n}$ , alors $\mathbf{V}(E)=\mathbf{A}^{n}_{X}$ est l’espace affine (analytique) au-dessus de $X$ ; dans le cas général, on le construit par recollement.

\definame 6.2.2 (Métriques).

Soit $X$ un espace analytique et soit $E$ un fibré vectoriel sur $X$ . Une métrique continue sur $E$ est une application continue $\mathopen{\|}{\cdot}\mathclose{\|}\colon\mathbf{V}(E)\rightarrow\mathbf{R}_{+}$ qui est une norme dans chaque fibre, au sens suivant : pour tout point $x\in X$ , toute extension valuée complète $L$ de $\mathscr{H}(x)$ , l’application de $E(x)\otimes L$ dans $\mathbf{R}$ donnée par la composition

E(x)\otimes L\hookrightarrow\mathbf{V}(E)\times L\rightarrow\mathbf{V}(E)\xrightarrow{\mathopen{\|}{\cdot}\mathclose{\|}}\mathbf{R}_{+}

est une norme ultramétrique sur le $L$ -espace vectoriel de dimension finie $E(x)\otimes L$ .

On notera souvent $\bar{E}$ la donnée d’un fibré vectoriel $E$ sur $X$ et d’une métrique sur ce fibré.

\remaname 6.2.3.

Soit $X$ un espace analytique, soit $E$ un fibré vectoriel sur $X$ muni d’une métrique continue $\mathopen{\|}{\cdot}\mathclose{\|}$ . Pour toute section $s$ de $E$ sur un domaine analytique $U$ de $X$ , on déduit de $\mathopen{\|}{\cdot}\mathclose{\|}$ une application continue, notée $\mathopen{\|}{s}\mathclose{\|}$ , de $U$ dans $\mathbf{R}_{+}$ : c’est la composition

U\xrightarrow{s}\mathbf{V}(E)\xrightarrow{\mathopen{\|}{\cdot}\mathclose{\|}}\mathbf{R}_{+},

où l’on note encore $s$ la section au-dessus de $U$ de la projection canonique de $\mathbf{V}(E)$ sur $X$ .

Notons $\mathscr{C}^{0}_{X}$ (resp. $\mathscr{C}^{0}_{X_{\rm G}}$ ) le faisceau $U\mapsto\mathscr{C}^{0}(U,\mathbf{R})$ sur l’espace topologique $X$ (resp. le site $X_{\rm G}$ ). Une métrique continue sur $E$ donne lieu à un morphisme de faisceaux $E\to\mathscr{C}^{0}_{X_{\rm G}}$ , noté $s\mapsto\mathopen{\|}{s}\mathclose{\|}$ , qui vérifie les propriétés suivantes :

—

Si $U$ est un domaine analytique de $X$ , $f\in\Gamma(U,\mathscr{O}_{X})$ et $s\in\Gamma(U,E)$ , alors $\mathopen{\|}{fs}\mathclose{\|}=\mathopen{|}{f}\mathclose{|}\mathopen{\|}{s}\mathclose{\|}$ ;
—

Si $U$ est un domaine analytique de $X$ et $s_{1},s_{2}\in\Gamma(U,E)$ , alors $\mathopen{\|}{s_{1}+s_{2}}\mathclose{\|}\leq\max(\mathopen{\|}{s_{1}}\mathclose{\|},\mathopen{\|}{s_{2}}\mathclose{\|})$ ;
—

Si $U$ est un domaine analytique de $X$ et $s\in\Gamma(U,E)$ , la fonction $\mathopen{\|}{s}\mathclose{\|}$ est à valeurs positives et s’annule en un point $x$ de $U$ si et seulement si $s(x)=0$ .

\definame 6.2.4 (Métriques lisses).

On dit qu’une métrique sur un fibré vectoriel $E$ est lisse si l’application de $\mathbf{V}(E)\mathchoice{\mathbin{\vrule height=3.09999pt,width=6.93192pt,depth=-1.63612pt}}{\mathbin{\vrule height=3.09999pt,width=6.93192pt,depth=-1.63612pt}}{\mathbin{\vrule height=2.15277pt,width=3.65973pt,depth=-1.20554pt}}{\mathbin{\vrule height=0.86108pt,width=2.45418pt,depth=-1.03334pt}}\{0\}$ dans $\mathbf{R}_{+}^{*}$ déduite par restriction au complémentaire de la section nulle est lisse.

\remaname 6.2.5.

Soit $L$ un fibré en droite muni d’une métrique. Pour que cette métrique soit lisse, il faut et il suffit que pour toute section inversible $s$ sur un ouvert $U$ de $X$ , la fonction $\log\mathopen{\|}{s}\mathclose{\|}$ soit lisse sur $U$ .

La nécessité de la condition est évidente, car $\mathopen{\|}{s}\mathclose{\|}$ est la composition de la norme et de la section $U\rightarrow\mathbf{V}(E)$ déduite de $s$ , l’image de cette section étant contenue dans le complémentaire de la section nulle. Inversement, la section $s$ fournit un isomorphisme de $\mathbf{V}(E)|_{U}$ avec $\mathbf{A}^{1}\times U$ ; par cet isomorphisme, la métrique est transformée en l’application $(t,x)\mapsto\mathopen{|}{t}\mathclose{|}\mathopen{\|}{s(x)}\mathclose{\|}$ ; sa restriction au complémentaire $\mathbf{G}_{\mathrm{m}}\times U$ de la section nulle est donc lisse.

\propname 6.2.6.

Soit $X$ un espace $k$ -analytique bon et paracompact. Tout fibré en droites sur $X$ possède une métrique lisse.

Il serait intéressant de prouver que tout fibré vectoriel sur $X$ possède une métrique lisse. Les arguments de la proposition montrent qu’il suffit de savoir traiter le cas d’un fibré vectoriel trivial.

Démonstration.

Soit $L$ un fibré en droites sur $X$ . Comme $X$ est bon, il existe un recouvrement $(U_{i})$ un recouvrement de $X$ par des ouverts sur lesquels $L$ est trivialisable. Soit $(\lambda_{i})$ une partition de l’unité lisse subordonnée au recouvrement ouvert $(U_{i})$ . Pour tout $i$ , soit $s_{i}$ une section inversible de $L|_{U_{i}}$ . Il existe une unique métrique sur $L$ pour laquelle,

\log\mathopen{\|}{s}\mathclose{\|}(x)=\sum_{i}\lambda_{i}(x)\log\mathopen{|}{s/s_{i}}\mathclose{|}(x)

pour tout ouvert $U$ de $X$ et toute section inversible $s$ de $L$ sur $U$ , la somme étant réduite aux indices $i$ tels que $x\in U_{i}$ . Pour une telle section $s$ , la fonction $\log\mathopen{\|}{s}\mathclose{\|}$ est lisse, si bien que la métrique ainsi définie sur $L$ est lisse. ∎