Munisons l’espace des $(p,q)$-formes lisses à support compact sur $X$ de la topologie suivante : une suite (net, filtre) $(\omega_{n})$ converge vers $\omega$ s’il existe une famille finie $(W_{i})$ de domaines analytiques compacts recouvrant la réunion des supports des $\omega_{n}$ et de $\omega$ et, pour tout $i$, une tropicalisation $\tau_{i}\colon W_{i}\rightarrow T_{i}$, des formes lisses $\varphi_{n,i}$ et $\varphi_{i}$ sur $T_{i,{\text{trop}}}$ telles que $\omega_{n}\mathrel{|}{W_{i}}=\tau_{i}^{*}\varphi_{n,i}$, $\omega\mathrel{|}{U_{i}}=\tau_{i}^{*}\varphi_{i}$, la suite $(\varphi_{n,i})$ convergeant uniformément vers $\varphi$, ainsi que chacune de ses dérivées, sur le polytope $\tau_{i}(W_{i})$.

On dit qu’une forme $\alpha$ sur $X$ est à support propre si son support est compact et disjoint du bord $\partial(X)$ de $X$.

On note $\mathscr{A}_{\text{c}}^{p,q}(X)$ le sous-espace de $\mathscr{A}^{p,q}(X)$ constitué des formes lisses à support propre.

Cette terminologie a été choisie par analogie avec celle des morphismes propres en géométrie analytique de Berkovich : en effet un morphisme $f$ entre deux espaces analytiques est propre si et seulement si l’application sous-jacente entre espaces topologiques est propre et s’il est sans bord ([8], (1.5.3), (iii)).

On appelle courant de bidimension $(p,q)$ sur $X$ une forme linéaire continue sur l’espace $\mathscr{A}_{\text{c}}^{p,q}(X)$ des formes lisses de type $(p,q)$ à support propre. On notera $\langle S,\alpha\rangle$ l’image de la forme $\alpha$ par le courant $S$.

On note $\mathscr{D}_{p,q}(X)$ l’ensemble des courants de bidimension $(p,q)$. Si $X$ est équidimensionnel de dimension $n$, on posera aussi $\mathscr{D}^{p,q}=\mathscr{D}_{n-p,n-q}$ et on dira que c’est l’espace des courants de bidegré $(p,q)$.

Ce sont des modules sur l’anneau des fonctions lisses sur $X$. Plus précisément, l’espace vectoriel bigradué $\mathscr{D}(X)$, somme directe des espaces $\mathscr{D}_{p,q}(X)$, est un module gradué (à gauche) sur l’espace vectoriel $\mathscr{A}(X)$ des formes lisses sur $X$. Si $\alpha\in\mathscr{A}^{p,q}_{\text{c}}(X)$ et $T$ est de bidimension $(p^{\prime},q^{\prime})$, le courant $\alpha T$ est de bidimension $(p^{\prime}-p,q^{\prime}-q)$ ; si $T$ est de bidegré $(p^{\prime},q^{\prime})$, $\alpha T$ est de bidegré $(p^{\prime}+p,q^{\prime}+q)$.

Soit $X$ un espace analytique bon et topologiquement séparé. Soit $L$ une extension complète de $k$, soit $Y$ un $L$-espace analytique (bon et topologiquement séparé) et soit $\varphi\colon Y\rightarrow X_{L}$ un morphisme propre d’espaces analytiques.

Le morphisme $\varphi$ induit une application linéaire naturelle, notée $\varphi^{*}$, de $\mathscr{A}^{(p,q)}(X)$ dans $\mathscr{A}^{(p,q)}(Y)$. Soit $\omega$ une forme lisse à support propre sur $X$. Soit $\omega_{L}$ la forme qui s’en déduit sur $X_{L}$ ; son support est encore compact et ne rencontre pas le bord de $X_{L}$ car un espace sans bord reste sans bord par changement de base par une extension de corps valués complets. Comme $\varphi$ est propre, la forme $\varphi^{*}\omega_{L}$ est encore à support propre.

L’application $\varphi^{*}$ de $\mathscr{A}^{(p,q)}_{\text{c}}(X)$ dans $\mathscr{A}^{(p,q)}_{\text{c}}(Y)$ ainsi définie est linéaire et continue. Elle induit par dualité une application linéaire $\varphi_{*}$ de $\mathscr{D}_{(p,q)}(Y)$ dans $\mathscr{D}_{(p,q)}(X)$.

Soit $U$ un ouvert de $X$. Comme $\partial(U)=U\cap\partial(X)$, toute forme sur l’espace $U$ dont le support est compact et disjoint de $\partial(U)$ peut être vue comme une forme sur $X$ dont le support est compact et disjoint de $\partial(X)$. Un courant sur $X$ définit un courant sur $U$ ; l’application $U\mapsto\mathscr{D}_{p,q}(U)$ est un préfaisceau.

Soit $X$ un espace analytique bon et topologiquement séparé. Soit $L$ une extension complète de $k$, soit $Y$ un $L$-espace analytique (bon et topologiquement séparé) qui est de dimension $d$. Soit $\varphi\colon Y\rightarrow X$ un morphisme d’espaces analytiques qui est topologiquement propre. Par exemple, on peut prendre pour $\varphi$ l’immersion d’un domaine analytique, d’un sous-espace analytique fermé, ou encore d’une fibre d’un morphisme munie de sa structure naturelle d’espace analytique.

Le morphisme $\varphi$ induit une application linéaire naturelle, notée $\varphi^{*}$, de $\mathscr{A}^{(p,q)}(X)$ dans $\mathscr{A}^{(p,q)}(Y)$. Si le support d’une forme $\omega$ est compact dans $X$, il en est de même de celui de la forme $\varphi^{*}\omega$ sur $Y$.

Pour toute $(d,d)$-forme lisse $\alpha$ sur $X$ dont le support est compact et disjoint de $\operatorname{Int}(X)$, posons alors $\langle\varphi_{*}\delta_{Y},\alpha\rangle=\int_{Y}\varphi^{*}\alpha$, où l’intégrale d’une $(d,d)$-forme à support compact sur $Y$ a été définie en (3.7). On définit ainsi un courant de bidimension $(d,d)$ sur $X$, qu’on appelle courant d’intégration sur $Y$.

Pour démontrer la continuité de $f_{*}\delta_{Y}$, on se ramène au cas où $Y=X$ puis, compte tenu de la définition de $\int_{Y}$, à la continuité de l’intégrale d’un polytope calibré dans un espace affine.

Plus généralement, pour toute forme $\omega$ sur $Y$, de type $(p^{\prime},q^{\prime})$, et à coefficients continus, on définit le courant $\varphi_{*}(\omega\delta_{Y})$ sur $X$ par la formule $\langle\varphi_{*}(\omega\delta_{Y}),\alpha\rangle=\int_{Y}\omega\varphi^{*}\alpha$. Il est de bidimension $(d-p^{\prime},d-q^{\prime})$.

On définit de manière analogue le courant d’intégration sur le bord de $Y$, noté $\delta_{\partial Y}$, par la formule $\langle\alpha,\delta_{\partial Y}\rangle=\int_{\partial Y}\varphi^{*}\alpha$, pour toute $(p-1,p)$-forme à support compact $\alpha$ sur $X$. Il est donc de bidimension $(p-1,p)$.

On associe alors à une forme $\alpha\in\mathscr{A}^{p,q}(X)$ le courant $[\alpha]=\alpha\delta_{X}$ de bidimension $(n-p,n-q)$ sur $X$. Cela définit plus généralement un morphisme de faisceaux

L’application linéaire $\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}$ de $\mathscr{A}^{(p,q)}_{\text{c}}(X)$ dans $\mathscr{A}^{(p+1,q)}_{\text{c}}(X)$ est continue. On note $\mathrm{b}^{\prime}$ son adjoint, de $\mathscr{D}_{(p,q)}(X)$ dans $\mathscr{D}_{(p+1,q)}(X)$.

On définit de même $\mathrm{b}^{\prime\prime}\colon\mathscr{D}_{(p,q)}(X)\rightarrow\mathscr{D}_{(p,q+1)}(X)$ comme l’adjoint de l’application $\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}$.

Supposons maintenant que $X$ soit purement de dimension $n$. On définit l’opérateur de symétrie $\mathrm{J}$ sur les courants par la formule :

De la sorte, $J[\alpha]=[J\alpha]$ pour toute forme $\alpha\in\mathscr{A}^{(p,q)}(X)$. En effet,

On dit qu’un courant $S$ de bidegré $(p,p)$ est symétrique si $\mathrm{J}S=(-1)^{p}S$.

Soit $\alpha$ une forme différentielle de type $(p,q)$ sur $X$ et soit $[\alpha]$ le courant de bidegré $(p,q)$ qui lui est associé. Pour toute forme $\omega\in\mathscr{A}^{(n-p,n-q)}_{\text{c}}(X)$, on a

Comme le support de $\alpha\wedge\omega$ est disjoint de $\partial X$, la formule de Stokes (théorème 3.12.1) entraîne

autrement dit

On définit ainsi l’opérateur $\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}$ de $\mathscr{D}^{(p,q)}(X)$ dans $\mathscr{D}^{(p+1,q)}$ par

De même, on pose

de sorte que pour toute forme $\alpha\in\mathscr{A}^{(p,q)}(X)$, $\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}[\alpha]=[\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}\alpha]$.

On vérifie aussi la relation $\mathrm{J}\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}\mathrm{J}=\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}$.

Par ailleurs, il est utile de remarquer que pour tout courant $S\in\mathscr{D}_{(p,q)}(X)$ et toute forme $\alpha\in\mathscr{A}^{p,q}_{\text{c}}(X)$, on a

En effet, $\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}S=((-1)^{p+q+2}\mathop{\mathrm{b^{\prime}}})((-1)^{p+q+1}\mathop{\mathrm{b}^{\prime\prime}})S=-\mathop{\mathrm{b^{\prime}}}\mathop{\mathrm{b}^{\prime\prime}}S$ est l’image de $S$ par le transposé de $-\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}=\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}$.

Soit $\varphi\colon Y/L\rightarrow X/k$ un morphisme d’espaces analytiques qui est topologiquement propre et sans bord. Les opérateurs $\mathrm{J}$, $\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}$ et $\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}$ sur les courants commutent à l’application $\varphi_{*}$ d’image directe.

Soit $\mathscr{A}$ une algèbre $k$-affinoïde, soit $\mathscr{I}$ son nilradical, soit $X$ l’espace $\mathscr{M}(\mathscr{A})$ et soit $\mathscr{X}$ le schéma $\operatorname{Spec}\mathscr{A}$. Soit $x\in X$, et soit $\mathbf{x}$ son image sur $\mathscr{X}$. L’anneau $\mathscr{A}$ étant réduit, l’espace analytique $X$ est réduit (Berkovich, cf. [29], th. 3.4). Les anneaux locaux artiniens $\mathscr{O}_{\mathscr{X},\mathbf{x}}/\mathscr{I}$ et $\mathscr{O}_{\mathscr{X},\mathbf{x}}/\mathscr{I}$ sont donc tous deux des corps.

Pour tout $\mathscr{A}$-module de type fini $\mathscr{F}$, on pose

Nous dirons que c’est la longueur de $\mathscr{F}$ (ou du faisceau cohérent associé) en $x$ ou en $\mathbf{x}$.

Lorsque $\mathscr{F}=\mathscr{A}$, cet entier est ce qu’on appelle la multiplicité de la composante irréductible $\overline{\{{\mathbf{x}}\}}$ de $\mathscr{X}$  ; nous dirons également que c’est la multiplicité de $X$ en $x$.

Soit $X$ un espace $k$-analytique irréductible, soit $\mathscr{F}$ un faisceau cohérent sur $X$, et soit $\mathscr{I}$ le faisceau des éléments localement nilpotents sur $X$. Fixons un domaine affinoïde non vide $V$ de $X$. La suite de faisceaux cohérents

s’annule à un rang fini lorsqu’on la restreint à $V$  ; elle s’annule donc génériquement à un rang fini, c’est-à-dire qu’il existe $n$ tel que $\mathscr{I}^{n}\mathscr{F}$ soit nul au-dessus d’un ouvert de Zariski non vide de $X$.

Soit $n$ un entier. Le faisceau $\mathscr{F}_{m}:=\mathscr{I}^{m}\mathscr{F}/\mathscr{I}^{m+1}\mathscr{F}$ est un faisceau cohérent de $\mathscr{O}_{X}/\mathscr{I}$-modules, c’est-à-dire un faisceau cohérent sur $X_{\text{red}}$. Sa restriction à $V_{\text{red}}$ est génériquement libre sur chacune des composantes irréductibles de $V_{\text{red}}$. Par conséquent, l’ouvert de Zariski $U$ de $X_{\text{red}}$ au-dessus duquel $\mathscr{F}_{m}$ est libre est non vide. Comme $U$ est connexe ([7], Corollaire 3.3.20), le rang de $\mathscr{F}_{m}$ est constant sur cet ouvert ; on le note $r_{m}(\mathscr{F})$.

Pour $m$ assez grand, on a $r_{m}(\mathscr{F})=0$. On note $\ell(\mathscr{F})=\sum_{m\geq 0}r_{m}(\mathscr{F})$ et on dit que c’est la longueur générique du faisceau cohérent $\mathscr{F}$. Lorsque $\mathscr{F}=\mathscr{O}_{X}$, on dit que $\ell(\mathscr{O}_{X})$ est la multiplicité générique de $X$.

Soit $v$ un point de $V$ tel que $\mathscr{O}_{V,v}$ soit artinien. La longueur générique de $\mathscr{F}$ est alors égale par construction à la longueur de $\mathscr{F}|_{V}$ en $v$, et la multiplicité générique de $X$ est égale à la multiplicité de $V$ en $v$.

Soit $W$ un espace $k$-affinoïde et soit $\pi\colon V\to W$ un morphisme fini  ; soit $w$ un point de $W$ tel que $\mathscr{O}_{W,w}$ soit un corps. Le morphisme $V_{\text{red}}\to W$ est fini et plat au-dessus de $w$  ; soit $\theta$ le degré correspondant. Alors, $\pi_{*}\mathscr{O}_{V}\otimes\mathscr{O}_{W,w}$ est un espace vectoriel de dimension $\theta$ sur $\mathscr{O}_{W,w}$, tandis que $\pi_{*}\mathscr{F}_{m}|V\otimes\mathscr{O}_{W,w}$ est un espace vectoriel de dimension $r_{m}(\mathscr{F})\theta$. Par suite, la dimension de $\pi_{*}\mathscr{F}|_{V}\otimes\mathscr{O}_{W,w}$ est égal à $\ell(\mathscr{F})\theta$.

Soit $L$ un corps tel que $X_{L}$ soit encore irréductible. L’espace $(X_{\text{red}})_{L}$ n’est pas forcément réduit, et $r_{m}(\mathscr{F}_{L})$ diffère de $r_{m}(\mathscr{F})$ en général  ; il résulte plus précisément des définitions que $\ell(\mathscr{F}_{L})=\mathsf{m}\sum r_{m}(\mathscr{F})$, où $\mathsf{m}$ est la multiplicité générique de $(X_{\text{red}})_{L}$.

Soit $X$ un espace $k$-analytique irréductible de dimension $n$, soit $Y$ un espace $k$-analytique et soit $\pi:Y\to X$ un morphisme fini. Soit $\mathsf{m}$ la multiplicité générique de $X$, et soit $\mathsf{n}$ l’entier $\sum r_{m}(\pi_{*}\mathscr{O}_{Y})$. Il résulte de ce qui précède que pour tout domaine affinoïde $V$ de $Y$, pour tout morphisme fini $\varphi:V\to W$ où $W$ est un espace $k$-affinoïde, et pour tout point $w$ de $W$ tel que $\mathscr{O}_{W,w}$ soit un corps, le degré de $Y\times_{X}V$ au-dessus de $w$ est égal au produit du degré de $V$ au-dessus de $w$ par $\mathsf{n}/\mathsf{m}$. On dira que $\mathsf{n}/\mathsf{m}$ est le degré intégral de $Y$ sur $X$.

On déduit alors de la définition des intégrales que pour toute $(n,n)$-forme mesurable $\omega$ sur $X$ à support fortement paracompact dans $X$, on a $\int_{Y}\mathopen{|}{\pi^{*}\omega}\mathclose{|}=(\mathsf{n}/\mathsf{m})\int_{X}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}$, et $\int_{Y}\ \pi^{*}\omega=(\mathsf{n}/\mathsf{m})\int_{X}\omega$ dans le cas intégrable.

De même, si $\omega$ est une $(n-1,n)$-forme mesurable $\omega$ sur $X$ à support fortement paracompact dans $X$, on a $\int_{\partial Y}\mathopen{|}{\pi^{*}\omega}\mathclose{|}=(\mathsf{n}/\mathsf{m})\int_{\partial X}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}$, et $\int_{\partial Y}\ \pi^{*}\omega=(\mathsf{n}/\mathsf{m})\int_{\partial X}\omega$ dans le cas intégrable.

Donnons maintenant quelques exemples.

Cette notion de degré intégral s’étend comme suit au cas des espaces analytiques non nécessairement irréductibles. Soit $X$ un espace $k$-analytique purement de dimension $n$, soit $Y\to X$ un morphisme fini, soit $T$ une composante irréductible de $X$, et soit $Z$ la réunion des autres composantes. Munissons $T$ de sa structure générique de sous-espace analytique fermé de $X$, définie en prenant G-localement l’adhérence schématique de $T-Z$. Le degré intégral de $Y\times_{X}T$ sera appelé plus brièvement le degré intégral de $Y$ au-dessus de $T$.

Comme le support d’une $(n,n)$-forme est constitué uniquement de points $x$ tel que $d_{k}(x)=n$, il ne contient aucun point situé sur deux composantes irréductibles distinctes de $X$.

Par conséquent, la formule donnée ci-dessus se généralise comme suit. Soit $(X_{i})$ la famille des composantes irréductibles de $X$  ; pour tout $i$, soit $d_{i}$ le degré intégral de $Y$ au-dessus de $Y_{i}$. Si $\omega$ est une $(n,n)$-forme mesurable sur $X$ à support fortement paracompact dans $X$, on a alors $\int_{Y}\mathopen{|}{f^{*}(\omega)}\mathclose{|}=\sum_{i}d_{i}\int_{X_{i}}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}$, et la même chose sans les valeurs absolues dans le cas intégrable.

Cela vaut également mutatis mutandis pour les $(n-1,n)$-formes.

Si $X$ est irréductible, si $Y\to X$ est fini de degré intégral $d$ et si $L$ est une extension complète de $k$ alors le degré intégral de $Y_{L}$ sur chacune des composantes irréductibles de $X_{L}$ est égal à $d$.

Soit $f$ une fonction méromorphe régulière sur $X$. Soit $X^{*}$ le sous-espace de $X$ formé des points au voisinage desquels $f$ est définie et non nulle  ; c’est un ouvert de Zariski d’intérieur vide de $X$ sur lequel la fonction $\log\mathopen{|}{f}\mathclose{|}$ est lisse. Le lemme précédent fournit ainsi un courant $[\log\mathopen{|}{f}\mathclose{|}]$ de bidegré $(0,0)$ sur $X$.