On peut supposer que $X$ est connexe. Comme il est paracompact, on peut aussi supposer que $(U_{i})$ est un recouvrement ouvert, localement fini de $X$ formé d’ouverts relativement compacts dans $X$. Puisque $X$ est connexe et paracompact, il est dénombrable à l’infini et l’on peut indexer par l’ensemble des entiers naturel l’ensemble d’indices du recouvrement $(U_{i})$.

Considérons une partition de l’unité continue $(g_{i})$ subordonnée au recouvrement $(U_{i})$. Pour tout $i$, le support de $g_{i}$ est compact. Il existe donc une fonction lisse $h_{i}$ sur $X$, à support compact contenu dans $U_{i}$, telle que $\mathopen{|}{h_{i}-g_{i}}\mathclose{|}<1/2^{i+2}$. Posons $h=\sum h_{i}$ ; c’est la somme d’une famille localement finie donc fonctions lisses, donc c’est une fonction lisse. Pour $x\in X$,

Posons $f_{i}=h_{i}/h$ ; c’est une fonction lisse sur $X$ dont le support est contenu dans $U_{i}$. On a $\sum f_{i}=1$. ∎