Revenons maintenant au cas des espaces analytiques sur un corps ultramétrique $k$. Soit $X$ un tel espace. La définition d’une forme lisse de type $(p,q)$ est définie en considérant des tropicalisations locales $f\colon X\rightarrow\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{r}$ et des superformes sur l’image $f_{\text{trop}}(X)$ dans $\mathbf{R}^{r}$, une fois adaptée la définition de Lagerberg au cas des espaces linéaires par morceaux.

En revanche, si $X$ est de dimension $n$, on voudrait définir l’intégrale d’une forme de type $(n,n)$ de la forme $f^{*}\omega$ comme la somme des intégrales à la Lagerberg sur les sous-espaces de dimension $n$ de $f_{\text{trop}}(X)$. Cela pose deux problèmes supplémentaires :

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  L’intégrale définie par Lagerberg dépend du système de coordonnées canonique sur $\mathbf{R}^{n}$ et ses sous-espaces linéaires n’en disposent pas a priori ;

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  Si l’on pense à la formule de projection en théorie de l’intersection, ou à la formule du changement de variables dans les intégrales multiples, l’intégrale de $f^{*}\omega$ ne peut être égale à $\int\omega$ qu’à un facteur correctif près, espèce de degré de $f$.

Nous les résolvons simultanément en introduisant la notion de calibrage $\mu$ d’un sous-espace linéaire par morceaux de dimension $n$ de $\mathbf{R}^{r}$. À des questions d’orientation près, il s’agit essentiellement d’une famille de $n$-vecteurs définis face par face. En contractant la superforme $\omega$ de type $(n,n)$ par ces $n$-vecteurs, on la transforme en une $n$-forme différentielle $\langle\omega,\mu\rangle$ sur l’espace linéaire par morceaux, forme qu’on intègre de façon usuelle. La théorie de Lagerberg correspond au choix du $n$-vecteur $\frac{\partial}{\partial x_{1}}\wedge\dots\frac{\partial}{\partial x_{n}}$ sur $\mathbf{R}^{n}$.

Si $X$ est compact, nous définissons alors un calibrage canonique $\mu_{f}$ de $f_{\text{trop}}(X)$. Négligeant ici des problèmes de bord, le fait que, lorsque $r=n$, $f$ soit fini et plat au-dessus du squelette de $\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n}$, et le degré de $f$ en ces points, intervient crucialement dans cette construction.

Signalons qu’il aurait peut-être été possible d’éviter d’introduire cette notion de calibrage en utilisant des structures $\mathbf{Z}$-linéaires sur les espaces linéaires par morceaux considérés mais nous n’avons pas développé cette approche.