La construction des faisceaux de formes différentielles repose sur un travail récent d’A. Lagerberg [43] dont le but est d’adapter les outils classiques de la théorie du pluripotentiel sur les variétés complexes à l’analyse convexe sur des espaces vectoriels réels.

Pour tout ouvert $U$ de l’espace vectoriel $\mathbf{R}^{n}$, Lagerberg construit une algèbre bigraduée commutative $\mathscr{A}^{*,*}(U)$ en dédoublant le complexe de De Rham de $\mathbf{R}^{n}$ : pour tous $(p,q)\in\mathbf{N}^{2}$,

$$\mathscr{A}^{p,q}(U)=\mathscr{C}^{\infty}(U)\otimes\bigwedge^{p}(\mathbf{R}^{n})^{*}\otimes\bigwedge^{q}(\mathbf{R}^{n})^{*}.$$

En particulier, $\mathscr{A}^{0,0}(U)$ est l’algèbre des fonctions $\mathscr{C}^{\infty}$ sur $U$. Pour $i\in\{1,\dots,n\}$, on note $\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x_{i}$ et $\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}x_{i}$ la $i$-ieme forme coordonnée vue respectivement dans $\mathscr{A}^{1,0}$ et $\mathscr{A}^{0,1}$. Cette algèbre possède deux dérivations, notées $\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}$ et $\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}$, analogues des dérivations holomorphes et antiholomorphes. Elles sont caractérisées par la formule

$$\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}f=\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x_{i}\quad\text{et}\quad\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}f=\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}x_{i},$$

si $f$ est une fonction $\mathscr{C}^{\infty}$ sur $U$. Cette algèbre possède aussi une involution qui échange $\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}$ et $\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}$.

L’opérateur $(\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}f)^{n}$ est l’analogue de l’opérateur de Monge-Ampère complexe ; il s’exprime d’ailleurs en termes de l’opérateur de Monge-Ampère réel : on a en effet

$$(\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}f)^{n}=n!\det\left(\big(\frac{\partial^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}\big)\right)\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x_{1}\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}x_{1}\wedge\dots\wedge\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x_{n}\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}x_{n}.$$

Les éléments de $\mathscr{A}^{p,q}(U)$ sont appelées superformes de type $(p,q)$ sur $U$ ; le préfixe super est ajouté par référence à la superanalyse de Berezin ; comme nous n’utiliserons pas cette dernière, nous nous permettrons souvent d’omettre ce préfixe.

Une $(n,n)$-forme $\omega$ sur un ouvert $U$ de $\mathbf{R}^{n}$ s’écrit

$$\omega=\omega^{\sharp}\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x_{1}\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}x_{1}\wedge\dots\wedge\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x_{n}\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}x_{n},$$

où $\omega^{\sharp}$ est une fonction $\mathscr{C}^{\infty}$. Son intégrale est alors définie par la formule

$$\int_{U}\omega=\int_{U}\omega^{\sharp}(x_{1},\dots,x_{n})\,\mathrm{d}x_{1}\dots\mathrm{d}x_{n}.$$

Cela donne automatiquement naissance à une théorie des courants. Il y a aussi une notion de forme positive, de courant positif ; les fonctions convexes sont caractérisées par la positivité de leur image par l’opérateur $\mathop{\mathrm{d}^{\prime}\mathrm{d}^{\prime\prime}}$, etc.

Le lien entre espaces de Berkovich et espaces réels est fourni par la « géométrie tropicale ».

Le point de vue tropical en géométrie analytique sur un corps valué $k$ (ultramétrique ou non) consiste à approcher un espace analytique $X$ par ses tropicalisations, ou amibes, images de $X$ dans $\mathbf{R}^{n}$ par des applications de la forme $x\mapsto(\log\mathopen{|}{f_{1}(x)}\mathclose{|},\dots,\log\mathopen{|}{f_{n}(x)}\mathclose{|})$, où $f_{1},\dots,f_{n}$ sont des fonctions analytiques inversibles sur $X$. Introduit initialement dans le cas où $k$ est le corps des nombres complexes et $X$ est une variété algébrique (voir [6, 56, 47]), ce point de vue a ensuite été développé dans le cas ultramétrique (citons notamment [10, 33, 39]).

Il est fondamental que les amibes sont alors des sous-espaces linéaires par morceaux de $\mathbf{R}^{n}$, connexes si $X$ est connexe. Ce fait, initialement démontré dans [10], a ensuite reprouvé par [39] à l’aide d’un argument de Berkovich issu de son analyse locale [9] des espaces analytiques (qui repose sur l’existence d’altérations [42]), puis dans [32] comme conséquence de l’élimination des quantificateurs pour les corps valués algébriquement clos. Voir aussi l’article [48] pour une autre incarnation du lien intime entre géométrie analytique et géométrie tropicale.

Plaçons nous pour commencer en géométrie analytique complexe. Soit $X$ une variété analytique complexe, $f_{1},\dots,f_{n}$ des fonctions holomorphes inversibles sur $X$ et $f=(f_{1},\dots,f_{n})\colon X\rightarrow(\mathbf{C}^{*})^{n}$ l’application qui s’en déduit. Notons $f_{\text{trop}}\colon X\rightarrow\mathbf{R}^{n}$ la composition de $f$ et de l’application $(\mathbf{C}^{*})^{n}\rightarrow\mathbf{R}^{n}$ donnée par $(z_{1},\dots,z_{n})\mapsto(\log\mathopen{|}{u_{1}}\mathclose{|},\dots,\log\mathopen{|}{u_{n}}\mathclose{|})$.

Par les formules

$$f^{*}u=u\circ f_{\text{trop}},\quad f^{*}\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x_{i}=\mathrm{d}\log\mathopen{|}{f_{i}}\mathclose{|}\quad\text{et}\quad f^{*}\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}x_{i}=\mathrm{d}\operatorname{Arg}(f_{i}),$$

une superforme $\omega$ de type $(p,q)$ sur $\mathbf{R}^{n}$ donne lieu à une forme différentielle réelle $f^{*}\omega$ de degré $p+q$ sur $X$. On prendra garde que $f^{*}\omega$ n’est pas forcément de type $(p,q)$ : cela se voit déjà sur $f^{*}\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x_{i}$ qui contient une composante holomorphe et une composante antiholomorphe. En revanche, si $\omega$ est de type $(p,p)$ et symétrique, $f^{*}\omega$ est de type $(p,p)$.

Revenons maintenant au cas des espaces analytiques sur un corps ultramétrique $k$. Soit $X$ un tel espace. La définition d’une forme lisse de type $(p,q)$ est définie en considérant des tropicalisations locales $f\colon X\rightarrow\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{r}$ et des superformes sur l’image $f_{\text{trop}}(X)$ dans $\mathbf{R}^{r}$, une fois adaptée la définition de Lagerberg au cas des espaces linéaires par morceaux.

En revanche, si $X$ est de dimension $n$, on voudrait définir l’intégrale d’une forme de type $(n,n)$ de la forme $f^{*}\omega$ comme la somme des intégrales à la Lagerberg sur les sous-espaces de dimension $n$ de $f_{\text{trop}}(X)$. Cela pose deux problèmes supplémentaires :

• —

  L’intégrale définie par Lagerberg dépend du système de coordonnées canonique sur $\mathbf{R}^{n}$ et ses sous-espaces linéaires n’en disposent pas a priori ;

• —

  Si l’on pense à la formule de projection en théorie de l’intersection, ou à la formule du changement de variables dans les intégrales multiples, l’intégrale de $f^{*}\omega$ ne peut être égale à $\int\omega$ qu’à un facteur correctif près, espèce de degré de $f$.

Nous les résolvons simultanément en introduisant la notion de calibrage $\mu$ d’un sous-espace linéaire par morceaux de dimension $n$ de $\mathbf{R}^{r}$. À des questions d’orientation près, il s’agit essentiellement d’une famille de $n$-vecteurs définis face par face. En contractant la superforme $\omega$ de type $(n,n)$ par ces $n$-vecteurs, on la transforme en une $n$-forme différentielle $\langle\omega,\mu\rangle$ sur l’espace linéaire par morceaux, forme qu’on intègre de façon usuelle. La théorie de Lagerberg correspond au choix du $n$-vecteur $\frac{\partial}{\partial x_{1}}\wedge\dots\frac{\partial}{\partial x_{n}}$ sur $\mathbf{R}^{n}$.

Si $X$ est compact, nous définissons alors un calibrage canonique $\mu_{f}$ de $f_{\text{trop}}(X)$. Négligeant ici des problèmes de bord, le fait que, lorsque $r=n$, $f$ soit fini et plat au-dessus du squelette de $\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{n}$, et le degré de $f$ en ces points, intervient crucialement dans cette construction.

Signalons qu’il aurait peut-être été possible d’éviter d’introduire cette notion de calibrage en utilisant des structures $\mathbf{Z}$-linéaires sur les espaces linéaires par morceaux considérés mais nous n’avons pas développé cette approche.

Une variante de ces constructions conduit à l’intégrale sur le bord de $X$ d’une forme de type $(n-1,n)$ et la formule de Stokes se déduit de celle en géométrie différentielle. Si la définition de l’intégrale de bord considère les bords des tropicalisations, un avatar de la condition d’équilibre en géométrie tropicale permet de prouver que la terminologie est justifiée, au sens où l’intégrale sur le bord de $X$ d’une forme nulle au voisinage du bord est nulle.