Notons $\widetilde{Y}$ et $\widetilde{X}$ les réductions graduées à la Temkin des espaces affinoïdes $Y$ et $X$, ainsi que $\tilde{f}\colon\widetilde{Y}\to\widetilde{X}$ l’application induite par $\tilde{f}$. Soit $\pi\colon Y\to\widetilde{Y}$ la flèche de réduction. Notons $\mathscr{A}$ et $\mathscr{B}$ les algèbres respectivement associées à $X$ et $Y$, et $\widetilde{\mathscr{A}}$ et $\widetilde{\mathscr{B}}$ leurs réductions graduées.

Soit ${\bf y}\in\widetilde{Y}$. Notons $J_{\bf y}$ (resp $I_{\bf y}$) l’idéal de $\widetilde{\mathscr{B}}$ (resp. $\widetilde{\mathscr{A}}$) engendré par les éléments homogènes s’annulant sur $\bf y$ (resp. $\tilde{f}({\bf y})$). Soit $E$ le sous-ensemble de $\widetilde{Y}$ formé des points $\bf y$ tel que $\widetilde{\mathscr{B}}/J_{\bf y}$ soit finie sur $\widetilde{\mathscr{A}}/I_{\bf y}$. En vertu du going-up gradué, si ${\bf y}\in E$ alors $\overline{\{\bf y\}}\subset E$.

L’intérieur $\operatorname{Int}(Y/X)$ est précisément égal à $\pi^{-1}(E)$ ([53], Proposition 3.1).

Soit $y\in K$. Comme $K\subset\operatorname{Int}(Y/X)$, on a $\pi(y)\in E$. L’image réciproque du fermé $\overline{\{\pi(y)\}}$ de $\widetilde{Y}$ est ouverte, et la compacité de $K$ entraîne alors que $\pi(K)$ est contenu dans une réunion finie $F=\bigcup\overline{\{{\bf y}_{i}\}}$, où les ${\bf y}_{i}$ appartiennent à $E$  ; notons que $F$ est un fermé de $\widetilde{Y}$, qui est contenu dans $E$.

Par quasi-compacité de $\widetilde{Y}$, il existe une famille $(f_{1},\ldots,f_{n})$ de fonctions analytiques non nilpotentes sur $Y$, de rayons spectraux respectifs $\rho_{1},\ldots,\rho_{n}$, telle que $F$ soit le lieu des zéros des $\widetilde{f_{i}}$, où $\widetilde{f_{i}}$ désigne l’image canonique de $f_{i}$ dans le groupe des éléments homogènes de degré $\rho_{i}$ de $\widetilde{\mathscr{A}}$.

Soit $y\in K$. Puisque $\pi(y)\in F$, on a pour tout $i$ l’égalité $\tilde{f_{i}}(\pi(y))=0$, ce qui signifie exactement que $|f_{i}(y)|<\rho_{i}$.

Soit $y\in\partial(Y/X)$. Le point $\pi(y)$ n’appartient pas à $E$, et a fortiori pas à $F$. Il s’ensuit qu’il existe $i$ tel que $\tilde{f_{i}}(\pi(y))\neq 0$, ce qui signifie exactement que $|f_{i}(y)|$ est égal à $\rho_{i}$. ∎

Soit $\mathscr{A}$ l’algèbre des fonctions analytiques sur $Y$. Il résulte de la proposition 3.4.1 qu’il existe une famille finie $(h_{1},\ldots,h_{N})$ de fonctions appartenant à $\mathscr{A}$ possédant la propriété suivante :

$(*)$ Soit $y\in Y$, soit $J$ l’ensemble des indices $j$ tels que $h_{j}(y)\neq 0$, soit $Y^{\prime}$ l’ouvert d’inversibilité simultanée des $h_{j}$ pour $j\in J$ et soit $h\colon Y^{\prime}\to\mathbf{G}_{\mathrm{m}}^{J}$ le moment $(h_{j})_{j\in J}$  ; le point $h_{\text{trop}}(y)$ possède un voisinage ouvert $\Omega$ dans $(\mathbf{R}^{\times}_{+})^{J}$ tel que $h$ tropicalise chacune des $\alpha_{i}|_{h_{\text{trop}}^{-1}(\Omega)}$.

Soit $y\in K$. Comme $d_{k}(y)=n$, le point $y$ n’est situé sur aucun fermé de Zariski de $Y$ de dimension $<n$  ; comme $Y$ est purement de dimension $n$, cela signifie que $y$ n’appartient qu’à une composante irréductible de $Y$, et est Zariski-dense dans celle-ci.

Soit $(Y_{\alpha})$ la famille des composantes irréductibles de $Y$. On pose $\mathscr{Y}=\operatorname{Spec}\mathscr{A}$  ; pour tout $\alpha$, on désigne par $\mathscr{Y}_{\alpha}$ la composante irréductible de $\mathscr{Y}$ qui correspond à $Y_{\alpha}$.

Par le lemme d’évitement des idéaux premiers appliqué sur le schéma affine $\mathscr{Y}$, il existe une fonction $f$ holomorphe sur $Y$ telle que $f$ s’annule en tout point de $Y_{\alpha}\cap Y_{\beta}$ dès que $\alpha\neq\beta$, et soit génériquement inversible sur $Y_{\alpha}$ pour tout $\alpha$  ; notons $Z$ (resp. $\mathscr{Z}$) le lieu des zéros de $f$ sur $Y$ (resp. $\mathscr{Y}$).

Soit $j\in\{1,\ldots,N\}$. L’ouvert $D(f)$ de $\mathscr{Y}$ est la réunion disjointe des ouverts $\mathscr{Y}_{\alpha}\mathchoice{\mathbin{\vrule height=3.09999pt,width=6.93192pt,depth=-1.63612pt}}{\mathbin{\vrule height=3.09999pt,width=6.93192pt,depth=-1.63612pt}}{\mathbin{\vrule height=2.15277pt,width=3.65973pt,depth=-1.20554pt}}{\mathbin{\vrule height=0.86108pt,width=2.45418pt,depth=-1.03334pt}}\mathscr{Z}$. Il existe donc $h^{\prime}_{j}\in\mathscr{A}$ sur $Y$ et un entier $n_{j}$ tels que pour tout $\alpha$ la fonction $h^{\prime}_{j}f^{-n_{j}}|_{Y_{\alpha}-Z}$ soit égale à $h_{j}$ si $h_{j}$ est génériquement inversible sur $Y_{\alpha}$, et égale à $1$ dans le cas contraire :

Modifions la famille $(h_{1},\ldots,h_{N})$ en remplaçant chacun des $h_{j}$ par $h^{\prime}_{j}$, et en posant $f=h_{N+1}$  ; puis écrivons $N$ au lieu de $N+1$, pour alléger les notations. La nouvelle famille $(h_{1},\ldots,h_{N})$ ainsi obtenue satisfait encore $(*)$ sous réserve que l’on se limite aux points $y\in Y-Z$, c’est-à-dire aux points en lesquels $h_{N}=f$ est inversible  ; et chacune des $h_{j}$ est maintenant génériquement inversible sur toutes les $Y_{\alpha}$, et est donc inversible au voisinage de $K$.

Le compact $K$ est contenu dans $\operatorname{Int}(Y/X)$. En vertu du lemme 3.4.3, il existe un nombre fini de fonctions analytiques non nilpotentes $\lambda_{1},\ldots,\lambda_{r}$ sur $Y$, de rayons spectraux respectifs $\rho_{1},\ldots,\rho_{r}$, telles que :

• —

  pour tout $\ell$ et tout $y\in K$, $|\lambda_{\ell}(y)|<\rho_{\ell}$  ;

• —

  pour tout $y\in\partial(Y/X)$, il existe $\ell$ tel que $|\lambda_{\ell}|=\rho_{\ell}$.

Choisissons pour tout $j$ un nombre réel strictement positif $s_{j}$ tel que $|h_{j}|>s_{j}$ sur $K$, et soit $W$ le domaine affinoïde rationnel de $Y$ défini par la conjonction d’inégalités $|h_{j}|\geq s_{j}$  ; comme $h_{N}$ ne s’annule pas sur $W$, on peut écrire $W=\coprod(W\cap Y_{\alpha})$.

Fixons $\alpha$. Soit $L_{\alpha}$ l’ensemble des indices $\ell$ tels que $\lambda_{\ell}|_{Y_{\alpha}}$ soit génériquement inversible  ; elle est alors inversible au voisinage de $K\cap Y_{\alpha}$. Pour tout $\ell\in L_{\alpha}$, choisissons deux réels $r_{\ell,\alpha}$ et $R_{\ell,\alpha}$ différents de $1$, tels que $0<r_{\ell,\alpha}<R_{\ell,\alpha}<\rho_{\ell}$ et tels que $r_{\ell,\alpha}<|\lambda_{\ell}|<R_{\ell,\alpha}$ sur $K\cap Y_{\alpha}$. Soit $V_{\alpha}$ le domaine affinoïde de $W\cap Y_{\alpha}$ défini par la conjonction des inégalités $r_{\ell,\alpha}\leq|\lambda_{\ell}|\leq R_{\ell,\alpha}$ pour $\ell\in L_{\alpha}$ et soit $V$ le domaine affinoïde $\coprod V_{\alpha}$ de $Y$  ; c’est un domaine rationnel de $W$, et partant de $Y$.

Si $\ell\in L_{\alpha}$, on note $\lambda_{\ell,\alpha}$ la fonction analytique sur $V$ qui vaut $\lambda_{\ell}$ sur $V_{\alpha}$ et $1$ sur $V-V_{\alpha}$.

Soit $y\in V$. Il appartient à l’un des $V_{\alpha}$  ; on a donc $|\lambda_{\ell}(y)|\leq R_{\ell,\alpha}<\rho_{\ell}$ si $\ell\in L_{\alpha}$, et $\lambda_{\ell}(y)=0<\rho_{\ell}$ sinon. En conséquence, le point $y$ n’appartient pas à $\partial(Y/X)$  ; il vient $V\subset\operatorname{Int}(Y/X)$.

Soit $y\in\partial(V/Y)$. Par définition du domaine affinoïde $V$, on est dans l’un des deux cas suivants, non exclusifs l’un de l’autre.

• —

  Premier cas : il existe $j$ tel que $|h_{j}|(y)=s_{j}$. On a alors $|h_{j}(y)|\notin|h_{j}|(K)$.

• —

  Second cas : il existe $(\ell,\alpha)$ tel que $y\in Y_{\alpha},\ell\in L_{\alpha}$ et $|\lambda_{\ell,\alpha}(y)|\in\{r_{\ell,\alpha},R_{\ell,\alpha}\}$. La définition de $r_{\ell,\alpha}$ et $R_{\ell,\alpha}$ assure alors que $|\lambda_{\ell,\alpha}(y)|\notin|\lambda_{\ell,\alpha}(K\cap Y_{\alpha})|$  ; et comme $r_{\ell,\alpha}$ et $R_{\ell,\alpha}$ sont différents de $1$, le réel $|\lambda_{\ell,\alpha}(y)|$ n’appartient pas non plus à $|\lambda_{\ell,\alpha}(K-Y_{\alpha})|$  ; il s’ensuit que $|\lambda_{\ell,\alpha}(y)|\notin|\lambda_{\ell,\alpha}|(K)$.

Soit $g$ le moment défini sur $V$ par la concaténation des $h_{j}$ et des $\lambda_{\ell,\alpha}$  ; il résulte de ce qui précède que $g_{\text{trop}}(\partial(V/Y))\cap g_{\text{trop}}(K)=\emptyset$. Par ailleurs, soit $y\in V$. Par choix des $h_{j}$, il existe un polytope compact $P_{x}$ qui est un voisinage de $g_{\text{trop}}(x)$ dans $g_{\text{trop}}(V)$ tel que chacune des $\alpha_{i}|_{g_{\text{trop}}^{-1}(P_{x})}$ provienne via $g_{\text{trop}}$ d’une forme $\beta_{i,x}$ sur $P_{x}$. Le lemme 3.2.2 assure que les $\beta_{i,x}$ sont uniquement déterminées  ; il garantit également leur recollement lorsque $x$ varie. Ainsi, $g$ tropicalise chacune des $\alpha_{i}$. ∎