Traitons d’abord le cas des intégrales sur $Y$.

On a $\int_{Y}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}=\int_{Y}{\bf 1}_{Y}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}$, puisque $\omega|_{Y}={\bf 1}_{Y}\omega|_{Y}$. Et comme $Y$ contient le support de ${\bf 1}_{Y}\omega$, cette dernière intégrale est égale à $\int_{X}{\bf 1}_{Y}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}$  ; on procède de même pour les intégrales sans valeurs absolues, dans le cas intégrable.

Venons-en maintenant au cas de $U$. Soit $(X_{i},\lambda_{i},Z_{i})$ un atlas intégral sur $X$ adapté à $\omega$, tel que chacun des $Z_{i}$ tropicalise également ${\bf 1}_{Y}$ (ou ${\bf 1}_{U}$, ce qui est pareil).

On a $\int_{U}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}=\sum_{i}\int_{U}\lambda_{i}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}$, et $\int_{X}{\bf 1}_{U}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}=\sum_{i}\int_{X}{\bf 1}_{U}\lambda_{i}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}$, et les égalités analogues sans valeurs absolues dans le cas intégrable. Pour tout $i$, le support de la forme $\lambda_{i}\omega$ est contenu dans $Z_{i}$ ; d’après le paragraphe 3.9.4, on a donc

$$\int_{U}\lambda_{i}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}=\int_{U\cap Z_{i}}\lambda_{i}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}\quad\text{et}\quad\int_{X}\mathbf{1}_{U}\lambda_{i}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}=\int_{Z_{i}}\mathbf{1}_{U}\lambda_{i}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|},$$

ainsi que les égalités analogues sans valeurs absolues.

Quitte à remplacer $X$ par $Z_{i}$, $U$ par $U\cap Z_{i}$ et $\omega$ par $\lambda_{i}\omega$, on peut donc supposer que $X$ est compact et que $\omega$ et ${\bf 1}_{U}$ sont tropicales, définies par un moment $f\colon X\to T$. Posons $P=f_{\text{trop}}(X)$, $Q=f_{\text{trop}}(Y)$. Soit $\alpha$ la $(n,n)$-forme mesurable sur $P$ telle que $\omega=f^{*}\alpha$. On a $Y=f_{\text{trop}}^{-1}(Q)$ et $Y=f_{\text{trop}}^{-1}(P\mathchoice{\mathbin{\vrule height=3.09999pt,width=6.93192pt,depth=-1.63612pt}}{\mathbin{\vrule height=3.09999pt,width=6.93192pt,depth=-1.63612pt}}{\mathbin{\vrule height=2.15277pt,width=3.65973pt,depth=-1.20554pt}}{\mathbin{\vrule height=0.86108pt,width=2.45418pt,depth=-1.03334pt}}Q)$.

Par définition,

$$\int_{X}\mathbf{1}_{U}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}=\int_{P}\langle\mathbf{1}_{P\mathchoice{\mathbin{\vrule height=2.17pt,width=4.85236pt,depth=-1.14528pt}}{\mathbin{\vrule height=2.17pt,width=4.85236pt,depth=-1.14528pt}}{\mathbin{\vrule height=1.50694pt,width=2.56181pt,depth=-0.84387pt}}{\mathbin{\vrule height=0.60275pt,width=1.71793pt,depth=-0.72334pt}}Q}\mathopen{|}{\alpha}\mathclose{|},\mathopen{|}{\mu_{f}}\mathclose{|}\rangle=\int_{P\mathchoice{\mathbin{\vrule height=2.17pt,width=4.85236pt,depth=-1.14528pt}}{\mathbin{\vrule height=2.17pt,width=4.85236pt,depth=-1.14528pt}}{\mathbin{\vrule height=1.50694pt,width=2.56181pt,depth=-0.84387pt}}{\mathbin{\vrule height=0.60275pt,width=1.71793pt,depth=-0.72334pt}}Q}\langle\mathopen{|}{\alpha}\mathclose{|},\mathopen{|}{\mu_{f}}\mathclose{|}\rangle.$$

Par ailleurs, soit $(O_{i})$ un recouvrement de $P\mathchoice{\mathbin{\vrule height=3.09999pt,width=6.93192pt,depth=-1.63612pt}}{\mathbin{\vrule height=3.09999pt,width=6.93192pt,depth=-1.63612pt}}{\mathbin{\vrule height=2.15277pt,width=3.65973pt,depth=-1.20554pt}}{\mathbin{\vrule height=0.86108pt,width=2.45418pt,depth=-1.03334pt}}Q$ par des ouverts relativement compacts, $(\theta_{i})$ une partition de l’unité subordonnée au recouvrement $(O_{i})$ formée de fonctions lisses à supports compacts et, pour tout $i$, un polytope compact $Q_{i}$ de $P\mathchoice{\mathbin{\vrule height=3.09999pt,width=6.93192pt,depth=-1.63612pt}}{\mathbin{\vrule height=3.09999pt,width=6.93192pt,depth=-1.63612pt}}{\mathbin{\vrule height=2.15277pt,width=3.65973pt,depth=-1.20554pt}}{\mathbin{\vrule height=0.86108pt,width=2.45418pt,depth=-1.03334pt}}Q$ voisinage dans $O_{i}$ du support de $\theta_{i}\alpha$. On a alors

$$\int_{P\mathchoice{\mathbin{\vrule height=2.17pt,width=4.85236pt,depth=-1.14528pt}}{\mathbin{\vrule height=2.17pt,width=4.85236pt,depth=-1.14528pt}}{\mathbin{\vrule height=1.50694pt,width=2.56181pt,depth=-0.84387pt}}{\mathbin{\vrule height=0.60275pt,width=1.71793pt,depth=-0.72334pt}}Q}\langle\mathopen{|}{\alpha}\mathclose{|},\mathopen{|}{\mu_{f}}\mathclose{|}\rangle=\sum_{i}\int_{Q_{i}}\theta_{i}\langle\mathopen{|}{\alpha}\mathclose{|},\mathopen{|}{\mu_{f}|_{Q_{i}}}\mathclose{|}\rangle.$$

En outre, on a

$$\int_{Q_{i}}\theta_{i}\langle\mathopen{|}{\alpha}\mathclose{|},\mathopen{|}{\mu_{f}|_{Q_{i}}}\mathclose{|}\rangle=\int_{f_{\text{trop}}^{-1}(Q_{i})}\mathopen{|}{f^{*}(\theta_{i}\alpha)}\mathclose{|}=\int_{f_{\text{trop}}^{-1}(Q_{i})}f^{*}(\theta_{i})\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}.$$

Alors, la famille $(f_{\text{trop}}^{-1}(O_{i}),f^{*}(\theta_{i}),f_{\text{trop}}^{-1}(Q_{i}))_{i}$ est un atlas intégral sur $U$ adapté à $\omega$. On a donc

$$\int_{U}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}=\sum_{i}\int_{f_{\text{trop}}^{-1}(Q_{i})}f^{*}(\theta_{i})\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|},$$

d’où l’égalité $\int_{U}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}=\int_{X}\mathbf{1}_{U}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}$. Dans le cas intégrable, la preuve de l’égalité $\int_{U}\omega=\int_{X}\mathbf{1}_{U}\omega$ est identique, en enlevant les valeurs absolues du calcul précédent. ∎

La définition de l’intégrale supposer que $X$ est paracompact et sans bord. Choisissons une famille $(V_{i})$ de domaines affinoïdes de $X$ telle que les $\mathring{V}_{i}$ recouvrent $X$. Soit $(\lambda_{i})$ une partition de l’unité lisse subordonnée au recouvrement $(\mathring{V}_{i})$.

Fixons un indice $i$. D’après la proposition 3.4.4, il existe un voisinage affinoïde $U_{i}$ du support $K_{i}$ de $\lambda_{i}\omega$ dans $\mathring{V}_{i}=\operatorname{Int}(V_{i}/k)$ et un moment $(f_{i}\colon U_{i}\rightarrow T_{i})$ qui tropicalise $\lambda_{i}\omega_{i}$ et satisfait la condition

$$f_{i,{\text{trop}}}(\partial(U_{i}/{V_{i}}))\cap f_{i,{\text{trop}}}(K_{i})=\emptyset.$$

Démontrons alors que l’on a $\int_{\partial U_{i}}\lambda_{i}\omega=0$. Soit $\alpha$ la $(n-1,n)$-forme sur $f_{i,{\text{trop}}}(U_{i})$ telle que $\lambda_{i}\omega|_{U_{i}}=f_{i}^{*}\alpha$ ; d’après le corollaire 3.2.3, son support est $f_{i,{\text{trop}}}(K_{i})$. Choisissons une décomposition cellulaire $\mathscr{C}$ de $f_{i,{\text{trop}}}(U_{i})$ adaptée au calibrage $\mu_{f_{i}}$.

Soit alors $F$ une $(n-1)$-cellule de $\mathscr{C}$. Si $F$ est disjointe de $g_{i,{\text{trop}}}(K_{i})$, l’intégrale $\int_{F}\langle\alpha,\mu_{f_{i}}\rangle$ est nulle. Sinon, $F$ rencontre $g_{i,{\text{trop}}}(K_{i})$. Puisque $U_{i}\subset\operatorname{Int}(V_{i}/k)$, $\operatorname{Int}(U_{i}/V_{i})=\operatorname{Int}(U_{i})$, d’où $\partial(U_{i}/V_{i})=\partial U_{i}$.

En particulier, $f_{i,{\text{trop}}}(\partial(U_{i}/V_{i}))=f_{i,{\text{trop}}}(\partial U_{i})$, si bien que $F$ n’est pas contenue dans $f_{i,{\text{trop}}}(\partial U_{i})$. D’après le théorème 3.6.1, $F$ est harmonieuse et ne contribue donc pas à l’intégrale $\int_{\partial U_{i}}\lambda_{i}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}$. Cela démontre la nullité de $\int_{\partial U_{i}}\lambda_{i}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}$  ; Il s’ensuit que $\int_{\partial X}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}=0$  ; la nullité de $\int_{\partial X}\omega$ se démontre de la même manière. ∎