Pour des problèmes de géométrie arithmétique sur un corps de fonctions $k(C)$, où $C$ est une variété algébrique projective sur un corps $k$, il est courant et fructueux de considérer un objet défini sur $k(C)$ (variété, faisceau, morphisme…) comme un germe d’objet sur $C$ puis de le prolonger sur $C$ tout entier. La conjecture de Mordell sur les corps de fonctions devient alors un énoncé sur les sections d’une surface projective fibrée en courbes de genre au moins $2$ au-dessus d’une courbe projective. On peut alors utiliser tout l’attirail de la géométrie algébrique sur cette surface, notamment la théorie de l’intersection.

Sur les corps de nombres, la théorie des schémas de Grothendieck donne un corps à ce principe. Cependant, le spectre $\operatorname{Spec}(\mathbf{Z})$ de $\mathbf{Z}$ est un schéma affine de dimension $1$, donc l’analogue d’une courbe algébrique affine, et n’a pas de compactification naturelle. Une telle compactification ne serait vraisemblablement pas définissable uniquement par l’algèbre. La nullité du degré du diviseur d’une fonction sur une courbe projective a pour analogue la formule du produit. Dans cette analogie, c’est ainsi aux points fermés d’une courbe affine que correspondent les idéaux maximaux de $\mathbf{Z}$, et le rôle des points à l’infini sera joué par la valeur absolue usuelle, archimédienne, de $\mathbf{Z}$, un objet de nature plus analytique, ou en tout cas topologique.

La théorie d’Arakelov ([2, 34, 38]) vise à pallier cette asymétrie en proposant une théorie de l’intersection arithmétique sur les schémas réguliers, de type fini sur $\mathbf{Z}$. Dans cette théorie, les objets algébriques (cycles, fibrés vectoriels,…) sont munis de structures supplémentaires définies par la géométrie analytique complexe (courants de Green, métriques hermitiennes,…). Cette théorie a donné lieu à de très beaux développements (par exemple, un théorème de Riemann-Roch arithmétique) et à des applications importante en géométrie diophantienne classique (hauteur de cycles [35, 18], théorèmes d’équidistribution de points de petite hauteur [51], preuve de la conjecture de Bogomolov [55, 60]).