Soit $x$ et $y$ des points distincts de $U$. Comme la fonction $f\colon y\mapsto h(x+t(y-x))$ est strictement convexe sur $[0,1]$, on a $f^{\prime}(1)>f^{\prime}(0)$ puis d’où $\langle\nabla h(y)-\nabla h(x),y-x\rangle>0$. En particulier, $\nabla h(x)\neq\nabla h(y)$.

La matrice jacobienne $\operatorname{Jac}(\nabla h)$ de l’application $\nabla h\colon U\rightarrow\mathbf{R}^{n}$ n’est autre que la matrice hessienne $\mathscr{H}(h)$ de l’application $h$. D’après la formule de changement de variables dans les intégrales multiples, on a donc

puisque, $h$ étant convexe, $\det\mathscr{H}(h)\geq 0$. ∎