Dans ce travail, nous avons souhaité remettre toutes les places sur le même plan, non pas en inventant une structure algébrique aux places archimédiennes, mais en tâchant de définir une structure analytique aux places ultramétriques. Ce n’est certes pas une idée originale.

La théorie d’Arakelov non archimédienne [11] est une première élaboration. Étant donnée une variété algébrique $X$ sur le corps des fractions $K$ d’un anneau de valuation discrète $R$, ces auteurs travaillent non pas avec un modèle fixé $\mathscr{X}/R$, mais avec le système projectif de tous les modèles. Pour des raisons techniques, ils doivent se restreindre aux modèles réguliers dont la fibre spéciale est un diviseur à croisements normaux stricts. Lorsque la caractéristique résiduelle de $R$ est strictement positive, cela les oblige à admettre l’existence d’une résolution des singularités plongée. Indépendamment de cette restriction (le cas où $R=\mathbf{C}((t))$ est déjà très intéressant), leur théorie reste de nature très algébrique : formes, courants sont définis comme des systèmes compatibles de cycles sur les différents modèles (pour des applications convenables fournies par la théorie de l’intersection).

Dans le cas des courbes, la thèse [54] d’A. Thuillier fournit une théorie d’Arakelov analytique à toutes les places fondée sur les espaces de Berkovich aux places ultramétriques et sur l’analyse complexe aux places archimédiennes. Dans le cas d’une courbe sur un corps ultramétrique, il y développe aussi une théorie du potentiel formellement analogue à celle qui vaut sur les surfaces de Riemann. Le cas de la droite projective a été développé indépendamment par [4, 3]. Ces considérations recoupent aussi les travaux de [50, 36, 37] en dynamique non archimédienne.

En dimension arbitraire, la théorie des mesures sur les espaces de Berkovich (due au premier auteur [22] et raffinée par [39]) fournit une troisième incarnation de cette idée. Si $X$ est propre, de dimension $n$, et si $\bar{L}$ est un fibré en droites sur $X$ muni d’une métrique admissible au sens de [59], on construit une mesure sur l’espace analytique $X^{\mathrm{an}}$ associé à $X/K$ par Berkovich que nous notons $c_{1}(\bar{L})^{n}$. En effet, cette mesure est un analogue de la mesure de même nom lorsque $\bar{L}$ est un fibré en droites hermitien sur une variété analytique compacte de dimension $n$. Sa masse totale est égale au degré $\deg(c_{1}(L)^{n}|X)$ de $X$ pour $L$. Elle donne aussi lieu à des théorèmes d’équidistribution des points de petite hauteur tout à fait analogues à ceux évoqués plus haut dans le cas archimédien ([22, 4, 36, 40, 58]). Voir aussi [23] pour un survol de la théorie qui met en parallèle les cas archimédien et ultramétrique. Dans [40], Gubler montre comment les idées de [55, 60] se transposent et permettent de prouver la conjecture de Bogomolov sur les corps de fonctions lorsque la variété abélienne sous-jacente est « totalement dégénérée ».

Divers mathématiciens se sont aussi intéressé à l’analogue du théorème de Yau (conjecture de Calabi) dans ce contexte. Citons un travail non publié de Kontsevich et Tschinkel (2000). Plus récemment, l’unicité d’une métrique conduisant à une mesure prescrite (théorème de Calabi) est prouvée dans [57] en adaptant la preuve de [12]. L’article [45] construit quelques solutions dans le cas de variétés abéliennes totalement dégénérées. Les articles [19, 20] prouvent l’existence de solutions dans de nombreux cas algébriques.