On suppose à partir de maintenant que pour tout ouvert $U$ de $X$, il existe un atlas intégral sur $U$ adapté à $\omega|_{U}$  ; c’est par exemple le cas dès que $\omega$ est à support fortement paracompact dans $X$.

Il découle alors de 3.10.1 et 3.10.2 que l’on a pour tout ouvert $U$ de $X$ l’inégalité $\int_{U}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}\leq\int_{X}\mathopen{|}{\omega}\mathclose{|}$.