Pour tout espace affine réel $V$, on note $\mathscr{A}_{V}$ le faisceau des fonctions $\mathscr{C}^{\infty}$ sur $V$, $\overrightarrow{V}$ son espace directeur et $\overrightarrow{V}^{*}$ le dual de $\overrightarrow{V}$.

Soit $V$ un espace affine de dimension finie sur $\mathbf{R}$ Dans [43], Lagerberg définit comme suit la notion de superforme de type $(p,q)$ sur un ouvert $U$ de $V$, que nous appellerons simplement dans ce qui suit forme de type $(p,q)$ : c’est un élément de

$$\mathscr{A}_{V}^{p,q}(U)=\mathscr{A}_{V}(U)\otimes_{\mathbf{R}}\Lambda^{p}\overrightarrow{V}^{*}\otimes_{\mathbf{R}}\Lambda^{q}\overrightarrow{V}^{*}.$$

Elles sont bien sûr nulles si $p>\dim(V)$ ou $q>\dim(V)$. En particulier, $\mathscr{A}_{V}^{0,0}(U)$ est l’anneau $\mathscr{A}_{V}(U)$ des fonctions $\mathscr{C}^{\infty}$ sur $U$.

Une classe admissible de fonctions numériques $\mathscr{F}$ consiste en la donnée, pour tout espace affine réel $V$ de dimension finie d’un $\mathscr{A}_{V}$-module $\mathscr{F}_{V}$ de fonctions mesurables sur $V$, tel que pour toute application affine $f\colon W\to V$, tout ouvert $U$ de $V$ et tout $g\in\mathscr{F}_{V}(U)$, la composée $g\circ f$ appartienne à $\mathscr{F}_{W}(f^{-1}(U))$.

Par exemple, la classe des fonctions $\mathscr{C}^{r}$ pour $0\leq r\leq+\infty$, celle des fonctions mesurables, ou celle des fonctions localement intégrables, sont des classes admissibles de fonctions numériques.

Tout particulièrement dans le cas de ces deux derniers exemples, le lecteur prendra garde que les sections de $\mathscr{F}$ sont toujours de vraies fonctions : nous ne quotienterons jamais par le sous-espace des fonctions nulles presque partout.

On dira que la classe $\mathscr{F}$ est stable par multiplication si pour tout espace affine réel $V$ et tout ouvert $U$ de $V$, le produit de deux fonctions de $\mathscr{F}_{V}(U)$ appartient à $\mathscr{F}_{V}(U)$.

À l’exception de celle des fonctions intégrables, toutes les classes évoquées ci-dessus sont stables par multiplication.

Soit $\mathscr{F}$ une classe admissible de fonctions numériques. Une forme de type $(p,q)$ à coefficients dans $\mathscr{F}$ sur l’ouvert $U$ est un élément de

$$\mathscr{F}_{V}^{p,q}(U):=\mathscr{F}_{V}(U)\otimes_{\mathscr{A}_{V}(U)}\mathscr{A}_{V}^{p,q}(U)=\mathscr{F}(U)\otimes_{\mathbf{R}}\Lambda^{p}\overrightarrow{V}^{*}\otimes_{\mathbf{R}}\Lambda^{q}\overrightarrow{V}^{*}.$$

Une fois choisie une base de $\overrightarrow{V}$ et une origine de $V$, on dispose de coordonnées $(x_{1},\dots,x_{n})$ qui permettent d’identifier $V$ à $\mathbf{R}^{n}$ (où $n=\dim(V)$). Pour distinguer les formes linéaires apparaissant dans le premier facteur $\Lambda^{p}\overrightarrow{V}^{*}$ de celles apparaissant dans le second $\Lambda^{q}\overrightarrow{V}^{*}$, on convient de noter systématiquement les premières avec le préfixe $\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}$ et les secondes avec le préfixe $\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}$. Une forme de type $(p,q)$ sur $U$ à coefficients dans $\mathscr{F}$ s’écrit ainsi

	$\displaystyle\omega$	$\displaystyle=\sum_{\mathopen{|}{I}\mathclose{|}=p,\,\mathopen{|}{J}\mathclose{|}=q}\omega_{I,J}(x)\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x_{I}\otimes\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}x_{J}$
		$\displaystyle=\sum_{\mathopen{|}{I}\mathclose{|}=p,\,\mathopen{|}{J}\mathclose{|}=q}\omega_{I,J}(x)\,\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x_{i_{1}}\wedge\dots\wedge\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x_{i_{p}}\otimes\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}x_{j_{1}}\wedge\dots\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}x_{j_{q}},$

où les $\omega_{I,J}$ appartiennent à $\mathscr{F}_{V}(U)$, et où $I=(i_{1},\dots,i_{p})$ et $J=(j_{1},\dots,j_{q})$ parcourent respectivement les suites strictement croissantes d’entiers compris entre $1$ et $n$.

On note $\mathrm{J}$ l’involution de l’algèbre $\mathscr{A}_{V}^{*,*}(U)$ qui induit l’isomorphisme identique de $\mathscr{A}_{V}^{1,0}(U)=\mathscr{A}_{V}(U)\otimes_{\mathbf{R}}V^{*}$ sur $\mathscr{A}_{V}^{0,1}(U)=\mathscr{A}_{V}(U)\otimes_{\mathbf{R}}V^{*}$. Elle induit une involution, encore notée $J$, du $\mathscr{A}_{V}(U)$-module gradué $\mathscr{F}_{V}^{*,*}(U)$, qui est un automorphisme de $\mathscr{F}_{V}(U)$-algèbre lorsque $\mathscr{F}$ est stable par multiplication.

En coordonnées, on a

$$\mathrm{J}\omega=\sum_{I,J}\omega_{I,J}(x)\,\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}x_{I}\wedge\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x_{J}=(-1)^{pq}\sum_{I,J}\omega_{I,J}(x)\,\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x_{J}\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}x_{I}.$$

Lorsque $p=q$, on dit qu’une forme $\omega$ de type $(p,p)$ est symétrique si elle vérifie $\mathrm{J}\omega=(-1)^{p}\omega$ ; cela revient donc à exiger que $\omega_{I,J}=\omega_{J,I}$ pour tout couple $(I,J)$.

La somme directe $\mathscr{A}_{V}^{*,*}(U)=\bigoplus\mathscr{A}_{V}^{p,q}(U)$ est naturellement munie d’une structure d’algèbre graduée sur l’anneau $\mathscr{A}_{V}(U)$ obéissant à la règle de commutativité suivante : si $\omega$ est de type $(p,q)$ et $\omega^{\prime}$ de type $(p^{\prime},q^{\prime})$, alors

$$\omega^{\prime}\wedge\omega=(-1)^{pp^{\prime}+qq^{\prime}}\omega\wedge\omega^{\prime}.$$

Ainsi, la forme $\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x_{I}\otimes\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}x_{J}$ sera plutôt notée $\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x_{I}\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}x_{J}$.

Cette structure d’algèbre induit une structure de $\mathscr{A}_{V}(U)$-module gradué sur $\mathscr{F}_{V}^{*,*}(U)$ ; lorsque la classe $\mathscr{F}$ est stable par multiplication, elle induit aussi une structure de $\mathscr{F}_{V}(U)$-algèbre graduée.

Les formes de type $(p,q)$ à coefficients dans $\mathscr{F}$ constituent un faisceau en $\mathscr{A}_{V}$-modules sur $V$, qui sera noté $\mathscr{F}_{V}^{p,q}$. On a $\mathscr{F}_{V}^{p,q}=\mathscr{F}_{V}\otimes_{\mathscr{A}_{V}}\mathscr{A}_{V}^{p,q}$.

La somme directe $\bigoplus\mathscr{F}_{V}^{p,q}$ est un faisceau en $\mathscr{A}_{V}$-modules gradués, muni d’une involution $J$.

Lorsque $\mathscr{F}$ est stable par multiplication, $\mathscr{F}_{V}^{p,q}$ est un faisceau en $\mathscr{F}_{V}$-algèbres graduées et $J$ est un morphisme de $\mathscr{F}_{V}$-algèbres.

Soit $f\colon V^{\prime}\rightarrow V$ une application affine entre deux espaces affines de dimension finie. On définit de façon évidente l’image réciproque $f^{*}\omega$ d’une forme $\omega$ de type $(p,q)$ à coefficients dans $\mathscr{F}$ sur un ouvert $U$ de $V$ ; c’est une forme de type $(p,q)$ à coefficients dans $\mathscr{F}$ sur $f^{-1}(U)$.

Les faisceaux $\mathscr{A}_{V}^{p,q}$ sont munis de deux opérateurs différentiels, $\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}$ et $\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}$, définis ainsi en coordonnées. Pour $\omega$ comme ci-dessus,

	$\displaystyle\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}\omega=\sum_{\mathopen{|}{I}\mathclose{|}=p,\,\mathopen{|}{J}\mathclose{|}=q}\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial\omega_{I,J}(x)}{\partial x_{i}}\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x_{i}\wedge\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x_{I}\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}x_{J}$
	$\displaystyle\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}\omega=(-1)^{p}\sum_{\mathopen{|}{I}\mathclose{|}=p,\,\mathopen{|}{J}\mathclose{|}=q}\sum_{j=1}^{n}\frac{\partial\omega_{I,J}(x)}{\partial x_{j}}\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x_{I}\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}x_{j}\wedge\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}x_{J}.$

Ainsi, $\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}\omega$ est de type $(p+1,q)$, tandis que $\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}\omega$ est de type $(p,q+1)$. Notons que pour $i\in\{1,\dots,n\}$, les symboles $\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}x_{i}$ et $\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}x_{i}$ sont bien les images par $\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}$ et $\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}$ de la fonction affine $x_{i}$ sur $V$. Remarquons aussi que la différentielle $\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}$ n’est autre que l’opérateur induit par la connexion naturelle dans le fibré vectoriel trivial de fibre $\Lambda^{q}\overrightarrow{V}^{*}$.

Ces opérateurs s’étendent de façon évidente aux formes à coefficients dans une classe admissible de fonctions, pourvu que cette classe ait une régularité suffisante. Par exemple, si $\omega$ est une forme de type $(p,q)$ à coefficients de classe $\mathscr{C}^{r}$, $\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}\omega$ et $\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}\omega$ sont des formes de types $(p+1,q)$ et $(p,q+1)$ à coefficients de classe $\mathscr{C}^{r-1}$.

Les opérateurs $\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}$ et $\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}$ sont des dérivations de l’algèbre graduée $\mathscr{A}^{*,*}(U)$. Si $\omega$ et $\omega^{\prime}$ sont respectivement de type $(p,q)$ et $(p^{\prime},q^{\prime})$, on a

$$\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}(\omega\wedge\omega^{\prime})=\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}\omega\wedge\omega^{\prime}+(-1)^{p+q}\omega\wedge\mathop{\mathrm{d^{\prime}}}\omega^{\prime},$$

et de même pour $\mathop{\mathrm{d}^{\prime\prime}}(\omega\wedge\omega^{\prime})$.