Si $f\colon\mathbf{R}^{n}\rightarrow\mathbf{R}^{n}$ est une application affine bijective, d’application linéaire associée $\overrightarrow{f}$, on a

$$\int_{f^{-1}(U)}f^{*}\omega=\mathopen{|}{\det(\overrightarrow{f})}\mathclose{|}\int_{U}\omega.$$

(1.3.2.1)

Soit $n$ un entier naturel et soit $V$ un espace affine de dimension $n$ sur $\mathbf{R}$. Pour définir l’intégrale d’une $(n,n)$ forme intégrable $\omega$ sur un ouvert $U$ de $V$, il suffit de fixer un isomorphisme affine de $V$ sur $\mathbf{R}^{n}$ et d’appliquer la définition ci-dessus. Le problème est que le résultat obtenu dépend de l’isomorphisme choisi : en effet, par ce qui précède, deux isomorphismes $u$ et $u^{\prime}$ fournissent la même notion d’intégrale si et seulement le jacobien de l’automorphisme affine $u^{\prime}\circ u^{-1}$ de $\mathbf{R}^{n}$ est égal à $\pm 1$.

Pour définir l’intégrale d’une $(n,n)$-forme sur un ouvert d’un espace affine, des données supplémentaires sont donc nécessaires. Comme on vient de le voir, ce peut être, un système de coordonnées affines  ; mais comme la dépendance en un tel système ne fait intervenir que la valeur absolue du jacobien du changement de variables, il est suffisant de se donner un $n$-vecteur et une orientation.

Le but des paragraphes qui suivent est d’expliciter cette assertion un peu vague et de définir du même coup l’intégrale d’une $(n-1,n)$-forme sur le bord d’un demi-espace de $V$.